Uma esfera oca é feita de um material de massa específica d e volume V. Determine o volume V^prime da cavidade esférica existente em seu interior para que ela flutue num liquido de massa específica rho, mantendo uma fração n de seu volume dentro do líquido.

Passo 1

Então, temos uma esfera oca feita de um material com densidade e volume total . Queremos descobrir o volume da cavidade interna para que a esfera flutue em um líquido com densidade , mantendo uma fração do seu volume total submersa. Vamos precisar usar os conceitos de equilíbrio de flutuabilidade e densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a condição de flutuação. Para que a esfera flutue mantendo uma fração submersa, o peso da esfera deve ser igual ao peso do líquido deslocado. A densidade da esfera está relacionada à densidade do material e ao volume efetivo ocupado.

Passo 3

Vamos calcular a massa da esfera. Como a esfera é oca, sua massa é a densidade do material multiplicada pelo volume do material, que é o volume total menos a cavidade: .

Passo 4

Agora, o peso da esfera é a massa multiplicada pela aceleração da gravidade : .

Passo 5

O peso do líquido deslocado corresponde à massa do líquido deslocado multiplicada pela aceleração da gravidade. A massa do líquido deslocado é a densidade do líquido multiplicada pelo volume submerso. Como queremos que a fração submersa seja , o volume submerso é . Então, í.

Passo 6

Para que a esfera flutue em equilíbrio, os pesos devem ser iguais: d cdot (V - V') cdot g = rho cdot nV cdot g í.
Portanto:

Passo 7

Podemos simplificar essa equação cancelando d cdot (V - V') = rho cdot nV dos dois lados:

Passo 8

Agora, vamos isolar dV - dV' = rho n V . Primeiro, distribuímos :

Passo 9

Em seguida, trazemos dV - rho n V = dV' para o lado direito e para o lado esquerdo:

Passo 10

Agora, isolamos V' = dV - rho n Vd :

Passo 11

Podemos simplificar ainda mais:
V' = V - rho n Vd

Resposta

O volume da cavidade esférica é:
V' = V (1 - rho nd)

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