Uma esfera oca é feita de um material de massa específica
e volume
. Determine o volume
da cavidade esférica existente em seu interior para que ela flutue num liquido de massa específica
, mantendo uma fração
de seu volume dentro do líquido.
Passo 1
Então, temos uma esfera oca feita de um material com densidade
e volume total
. Queremos descobrir o volume
da cavidade interna para que a esfera flutue em um líquido com densidade
, mantendo uma fração
do seu volume total
submersa. Vamos precisar usar os conceitos de equilíbrio de flutuabilidade e densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a condição de flutuação. Para que a esfera flutue mantendo uma fração
submersa, o peso da esfera deve ser igual ao peso do líquido deslocado. A densidade da esfera está relacionada à densidade do material e ao volume efetivo ocupado.
Passo 3
Vamos calcular a massa da esfera. Como a esfera é oca, sua massa é a densidade do material
multiplicada pelo volume do material, que é o volume total menos a cavidade:
.
Passo 4
Agora, o peso da esfera é a massa multiplicada pela aceleração da gravidade
:
.
Passo 5
O peso do líquido deslocado corresponde à massa do líquido deslocado multiplicada pela aceleração da gravidade. A massa do líquido deslocado é a densidade do líquido
multiplicada pelo volume submerso. Como queremos que a fração submersa seja
, o volume submerso é
. Então,
.
Passo 6
Para que a esfera flutue em equilíbrio, os pesos devem ser iguais:
.
Portanto:
Passo 7
Podemos simplificar essa equação cancelando
dos dois lados:
Passo 8
Agora, vamos isolar
. Primeiro, distribuímos
:
Passo 9
Em seguida, trazemos
para o lado direito e
para o lado esquerdo:
Passo 10
Agora, isolamos
:
Passo 11
Podemos simplificar ainda mais:
Resposta
O volume da cavidade esférica é: