Considere um modelo simplificado do átomo de Hélio no qual usamos as funções de onda espaciais do problema do átomo de hidrogênio. Determine as funções de onda (espacial e de spin) para o estado fundamental e o primeiro estado excitado desse sistema, admitindo primeiramente os elétrons sejam não interagentes. Esboce o diagrama dos níveis de energia para essa situação. Se as partículas interagirem eletrostaticamente apresente a mudança qualitativa que você espera no diagrama de energia (argumente).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre o átomo de Hélio! A gente vai trabalhar com funções de onda espaciais, que são fundamentais na mecânica quântica para descrever onde os elétrons estão. Precisaremos entender como combinar essas funções com as funções de spin dos elétrons para determinar os estados fundamental e primeiro estado excitado. Vamos também desenhar um diagrama de níveis de energia e pensar em como a interação eletrostática entre os elétrons muda esse diagrama. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no modelo simplificado, estamos usando as funções de onda do átomo de hidrogênio para cada elétron no átomo de Hélio. No estado fundamental, ambos os elétrons estão no menor nível de energia possível. A função de onda espacial do estado fundamental para cada elétron é a função psi1s(r) = 1raizpi a0^3 e^-r/a0 , que é a solução mais básica da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio.
Matematicamente, para cada elétron:
onde é o raio de Bohr.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o spin dos elétrons. Cada elétron tem um spin , e há duas possíveis orientações: (spin para cima) e (spin para baixo). Como os elétrons são férmions, a função de onda total deve ser antisímétrica em relação à troca dos dois elétrons, conforme o Princípio de Exclusão de Pauli.
Isso significa que se a parte espacial for simétrica, a parte de spin deve ser antisímtrica, e vice-versa.

Passo 4

No estado fundamental, a configuração espacial é simétrica porque ambos os elétrons estão na mesma função chising = 1raiz2 ( uparrow downarrow - downarrow uparrow ) . Portanto, a parte de spin deve ser antisímétrica para garantir que a função de onda total seja antisímtrica.
A função de spin antisímtrica é conhecida como o estado singlete:
Psifundamental = psi1s(r1) psi1s(r2) cdot chising
Então, a função de onda total para o estado fundamental é:

Passo 5

Vamos para o primeiro estado excitado. Aqui, um dos elétrons é promovido para uma função de onda de maior energia, por exemplo, chitrip<=t^(1) = uparrow uparrow . A configuração espacial agora é mista: uma função chitrip<=t^(0) = 1raiz2 ( uparrow downarrow + downarrow uparrow ) e outra chitrip<=t^(-1) = downarrow downarrow .
A parte espacial pode ser simétrica ou antissimétrica dependendo de como distribuímos as funções. Vamos considerar a simetria para combinar com o spin de forma adequada.
Se a parte espacial for antisimétrica, a parte de spin será simétrica, correspondendo ao triplete:
Psiexcitado = 1raiz2 ( psi1s(r1) psi2s(r2) - psi2s(r1) psi1s(r2) ) cdot chitrip<=t
Assim, a função de onda total para o primeiro estado excitado é:

Passo 6

Vamos esboçar o diagrama dos níveis de energia. No modelo de elétrons não interagentes:
  • Estado Fundamental: Ambos os elétrons estão no nível .
  • Primeiro Estado Excitado: Um elétron no e outro no .
Energia
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|       2s
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|       1s
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Passo 7

Agora, se considerarmos a interação eletrostática entre os elétrons, a repulsão entre eles aumenta a energia total do sistema. Isso faz com que os níveis de energia se ajustem:
  • A energia do estado fundamental aumenta ligeiramente devido à repulsão.
  • Os níveis excitados também se modificam, possivelmente deslocando-se mais para cima.
  • Além disso, podem surgir novos estados devido à interação, enriquecendo o diagrama de energia.
Basicamente, a interação entre os elétrons quebra a degenerescência dos níveis de energia e torna o sistema mais complexo.

Resposta

Resolvemos as funções de onda para os estados fundamental e excitado do átomo de Hélio simplificado, esboçamos o diagrama de níveis de energia considerando elétrons não interagentes e discutimos qualitativamente como a interação eletrostática altera esse diagrama.

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