Uma partícula de massa e energia total , movendo-se da esquerda para a direita colide com um potencial degrau de altura , localizado em . Partindo da equacão de Schroedinger independente do tempo e utilizando as condições de contorno apropriadas, obtenha:
(a) A forma das funções associadas as ondas incidente, refletida e transmitida
(b) Obtenha o coeficiente reflexão para esta situação.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! Você tem uma partícula com massa e energia total que está se movendo da esquerda para a direita. Essa partícula bate em um degrau de potencial de altura localizado em . Nosso objetivo é, usando a equação de Schrödinger independente do tempo e aplicando as condições de contorno certas, encontrar:
(a) As formas das funções de onda para a partícula incidente, refletida e transmitida.
(b) O coeficiente de reflexão para essa situação.
Para resolver isso, vamos precisar entender como as ondas se comportam quando encontram uma barreira de potencial, aplicar a equação de Schrödinger para cada região e então usar as condições de contorno para ligar as soluções. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o espaço em duas regiões separadas pelo ponto :
Região 1 (): Aqui o potencial é zero, já que a barreira só começa em .
Região 2 (): Aqui o potencial é .
Agora, vamos escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para cada uma dessas regi��es.
Passo 3
Na Região 1 (), onde o potencial , a equação de Schrödinger fica:
Podemos rearranjar isso para:
onde:
Essa é uma equação diferencial clássica cujas soluções são ondas senoidais ou exponenciais complexas. Porém, para representar partículas viajando, usamos funções exponenciais complexas.
Passo 4
Na Região 2 (), onde o potencial , a equação de Schrödinger fica:
Rearranjando:
onde:
Note que é real, o que indica que na Região 2 a onda vai decair exponencialmente, já que .
Passo 5
Agora, vamos propor as soluções para cada região:
Região 1 ():
Onda incidente:
Onda refletida:
Aqui, é o coeficiente de reflexão que queremos encontrar.
Região 2 ():
Onda transmitida:
Já que , a onda decai exponencialmente em vez de propagar.
Então, a função de onda total fica:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições de contorno no ponto . As condições de contorno exigem que a função de onda e sua derivada sejam contínuas em .
Condição 1: Continuidade da função de onda em
Substituindo:
Condição 2: Continuidade da derivada da função de onda em
Simplificando:
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Passo 7
Primeiro, da primeira equação, podemos isolar :
Agora, substituímos na segunda equação:
Distribuindo o lado direito:
Rearranjando termos com :
Fatorando :
Finalmente, isolando :
Podemos multiplicar numerador e denominador por para simplificar:
Passo 8
Agora que temos , podemos encontrar o coeficiente de reflexão , que é dado por:
Calculando o módulo de :
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Mas para o módulo :
Isso implica que, na verdade, houve um erro na simplificação. Vamos refazer:
Na verdade, para calcular :
Isso sugere que toda a onda é refletida, o que faz sentido já que , então não há transmissão de energia.
Resposta
(a) As formas das funções de onda são:
onde e .
(b) O coeficiente de reflexão é:
Isso significa que toda a onda é refletida quando .