Uma partícula de massa m e energia total Eo, movendo-se da esquerda para a direita colide com um potencial degrau de altura 3 E0 / 2, localizado em x=0. Partindo da equacão de Schroedinger independente do tempo e utilizando as condições de contorno apropriadas, obtenha:
(a) (1,5) A forma das funções associadas as ondas incidente, refletida e transmitida
(b) (1,0) Obtenha o coeficiente reflexão para esta situação.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! Você tem uma partícula com massa e energia total que está se movendo da esquerda para a direita. Essa partícula bate em um degrau de potencial de altura localizado em . Nosso objetivo é, usando a equação de Schrödinger independente do tempo e aplicando as condições de contorno certas, encontrar:
(a) As formas das funções de onda para a partícula incidente, refletida e transmitida.
(b) O coeficiente de reflexão para essa situação.
Para resolver isso, vamos precisar entender como as ondas se comportam quando encontram uma barreira de potencial, aplicar a equação de Schrödinger para cada região e então usar as condições de contorno para ligar as soluções. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o espaço em duas regiões separadas pelo ponto :
  1. Região 1 ( ): Aqui o potencial é zero, já que a barreira só começa em .
  2. Região 2 ( ): Aqui o potencial é .
Agora, vamos escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para cada uma dessas regi��es.

Passo 3

Na Região 1 ( -hbar^22m d^2 psidx^2 = E0 psi ), onde o potencial d^2 psidx^2 + k^2 psi = 0 , a equação de Schrödinger fica:
k = raiz2mE0hbar^2
Podemos rearranjar isso para:
onde:
Essa é uma equação diferencial clássica cujas soluções são ondas senoidais ou exponenciais complexas. Porém, para representar partículas viajando, usamos funções exponenciais complexas.

Passo 4

Na Região 2 ( -hbar^22m d^2 psidx^2 + 3E02 psi = E0 psi ), onde o potencial d^2 psidx^2 - kappa^2 psi = 0 , a equação de Schrödinger fica:
kappa = raiz2m(3E02 - E0)hbar^2 = raizmE0hbar^2
Rearranjando:
onde:
Note que é real, o que indica que na Região 2 a onda vai decair exponencialmente, já que .

Passo 5

Agora, vamos propor as soluções para cada região:
  • Região 1 ( psi(x) = psii(x) + psir(x) = e^ikx + r, e^-ikx & para x < 0 psit(x) = t, e^-kappa x & para x >= 0 ):
    • Onda incidente:
    • Onda refletida:
    Aqui, é o coeficiente de reflexão que queremos encontrar.
  • Região 2 ( ):
    • Onda transmitida:
    Já que , a onda decai exponencialmente em vez de propagar.
Então, a função de onda total fica:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições de contorno no ponto psii(0) + psir(0) = psit(0) . As condições de contorno exigem que a função de onda 1 + r = t e sua derivada ik e^ikxg|x=0 - ik r e^-ikxg|x=0 = -kappa t e^-kappa xg|x=0 sejam contínuas em ik(1 - r) = -kappa t .
Condição 1: Continuidade da função de onda em
Substituindo:
Condição 2: Continuidade da derivada da função de onda em
Simplificando:
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 7

Primeiro, da primeira equação, podemos isolar t = 1 + r :
ik(1 - r) = -kappa (1 + r)
Agora, substituímos ik - ik r = -kappa - kappa r na segunda equação:
-ik r + kappa r = -kappa - ik
Distribuindo o lado direito:
r(-ik + kappa) = -kappa - ik
Rearranjando termos com r = -kappa - ik-ik + kappa = kappa + ikik - kappa :
r = -kappa - ik-ik + kappa = kappa + ikkappa - ik
Fatorando :
Finalmente, isolando :
Podemos multiplicar numerador e denominador por para simplificar:

Passo 8

Agora que temos R = |r|^2 , podemos encontrar o coeficiente de reflexão r = kappa + ikkappa - ik , que é dado por:
r = (kappa + ik)(kappa + ik)(kappa - ik)(kappa + ik) = (kappa + ik)^2kappa^2 + k^2
Calculando o módulo de |r|^2 = (kappa)^2 + (k)^2kappa^2 + k^2 = 1 :
|r|^2 = (kappa)^2 + k^2(kappa)^2 + k^2 = 1
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Mas para o módulo :
Isso implica que, na verdade, houve um erro na simplificação. Vamos refazer:
Na verdade, para calcular :
Isso sugere que toda a onda é refletida, o que faz sentido já que , então não há transmissão de energia.

Resposta

(a) As formas das funções de onda são:
psi(x) = e^ikx + r, e^-ikx & para x < 0 t, e^-kappa x & para x >= 0
onde R = |r|^2 = 1 e .
(b) O coeficiente de reflexão é:
Isso significa que toda a onda é refletida quando .

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