Uma partícula de massa e energia total , movendo-se da esquerda para a direita colide com um potencial degrau de altura , localizado em . Partindo da equacão de Schroedinger independente do tempo e utilizando as condições de contorno apropriadas, obtenha:
(a) A forma das funções associadas as ondas incidente, refletida e transmitida
(b) Obtenha o coeficiente reflexão para esta situação.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! Você tem uma partícula com massa e energia total que está se movendo da esquerda para a direita. Essa partícula bate em um degrau de potencial de altura localizado em . Nosso objetivo é, usando a equação de Schrödinger independente do tempo e aplicando as condições de contorno certas, encontrar:
(a) As formas das funções de onda para a partícula incidente, refletida e transmitida.
(b) O coeficiente de reflexão para essa situação.
Para resolver isso, vamos precisar entender como as ondas se comportam quando encontram uma barreira de potencial, aplicar a equação de Schrödinger para cada região e então usar as condições de contorno para ligar as soluções. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o espaço em duas regiões separadas pelo ponto :
Região 1 (): Aqui o potencial é zero, já que a barreira só começa em .
Região 2 (): Aqui o potencial é .
Agora, vamos escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para cada uma dessas regi��es.
Passo 3
Na Região 1 (), onde o potencial , a equação de Schrödinger fica:
Podemos rearranjar isso para:
onde:
Essa é uma equação diferencial clássica cujas soluções são ondas senoidais ou exponenciais complexas. Porém, para representar partículas viajando, usamos funções exponenciais complexas.
Passo 4
Na Região 2 (), onde o potencial , a equação de Schrödinger fica:
Rearranjando:
onde:
Note que é real, o que indica que na Região 2 a onda vai decair exponencialmente, já que .
Passo 5
Agora, vamos propor as soluções para cada região:
Região 1 ( psi(x) = psii(x) + psir(x) = e^ikx + r, e^-ikx & para x < 0 psit(x) = t, e^-kappa x & para x >= 0 ):
Onda incidente:
Onda refletida:
Aqui, é o coeficiente de reflexão que queremos encontrar.
Região 2 ():
Onda transmitida:
Já que , a onda decai exponencialmente em vez de propagar.
Então, a função de onda total fica:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições de contorno no ponto psii(0) + psir(0) = psit(0) . As condições de contorno exigem que a função de onda 1 + r = t e sua derivada ik e^ikxg|x=0 - ik r e^-ikxg|x=0 = -kappa t e^-kappa xg|x=0 sejam contínuas em ik(1 - r) = -kappa t .
Condição 1: Continuidade da função de onda em
Substituindo:
Condição 2: Continuidade da derivada da função de onda em
Simplificando:
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Passo 7
Primeiro, da primeira equação, podemos isolar t = 1 + r :
ik(1 - r) = -kappa (1 + r)
Agora, substituímos ik - ik r = -kappa - kappa r na segunda equação:
-ik r + kappa r = -kappa - ik
Distribuindo o lado direito:
r(-ik + kappa) = -kappa - ik
Rearranjando termos com r = -kappa - ik-ik + kappa = kappa + ikik - kappa :
r = -kappa - ik-ik + kappa = kappa + ikkappa - ik
Fatorando :
Finalmente, isolando :
Podemos multiplicar numerador e denominador por para simplificar:
Passo 8
Agora que temos R = |r|^2 , podemos encontrar o coeficiente de reflexão r = kappa + ikkappa - ik , que é dado por: