Uma esfera oca metálica tem raio interno de 10 cm e raio externo de 12 cm a 15 °C. Sendo o coeficiente de dilatação linear desse metal 2,3.10^-5 (°C)^-1, assinale a alternativa que mais se aproxima da variação do volume da cavidade interna em cm^3 quando a temperatura sobe para 40°C. Considere π = 3 e volume da esfera = 4/3.π.R^3 alternativas
A - 0,2
B - 2,2
C - 5,0
D - 15
E - 15,2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos uma esfera metálica oca com raio interno de 10 cm e raio externo de 12 cm a 15 °C. Queremos descobrir como o volume da cavidade interna (o espaço vazio dentro da esfera) muda quando a temperatura aumenta para 40 °C. Para resolver isso, vamos usar o conceito de dilatação térmica linear, que nos ajuda a calcular como as dimensões de um material mudam com a temperatura. A fórmula que vamos precisar é a da dilatação volumétrica, que está relacionada ao coeficiente de dilatação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Raio interno inicial ($ R_i $) = 10 cm
  • Temperatura inicial ($ T_i $) = 15 °C
  • Temperatura final ($ T_f $) = 40 °C
  • Coeficiente de dilatação linear ($ \alpha $) = $ 2,3 \times 10^{-5} $ °C Ri
  • Valor de $ \pi $ = 3
A variação de temperatura ($ \Delta T $) é:
Ti

Passo 3

Sabemos que o volume de uma esfera é dado por:
V = 43 pi R^3
Quando a temperatura aumenta, o raio interno da esfera também aumenta. Para encontrar a variação do volume ($ \Delta V $), usamos a fórmula da dilatação volumétrica:
De
Onde $ \beta $ é o coeficiente de dilatação volumétrica. Para materiais isotrópicos (que se expandem igualmente em todas as direções), $ \beta = 3\alpha $. Então:
De

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume inicial da cavidade interna ($ V_i $):
Vi

Passo 5

Em seguida, aplicamos a fórmula da variação do volume:
De
Vamos calcular passo a passo:
4000 times 6,9 times 10^-5 = 4000 times 0,000069 = 0,276
0,276 times 25 = 6,9,cm^3

Passo 6

Então, a variação do volume da cavidade interna é de aproximadamente 6,9 cm³. Olhando nas alternativas, a que mais se aproxima desse valor é a opção C - 5,0.

Resposta

A variação aproximada do volume da cavidade interna é 5,0 cm³.

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