Uma esfera oca metálica tem raio interno de 10 cm e raio externo de 12 cm a 15 °C. Sendo o coeficiente de dilatação linear desse metal 2,3.10^-5 (°C)^-1, assinale a alternativa que mais se aproxima da variação do volume da cavidade interna em cm^3 quando a temperatura sobe para 40°C. Considere π = 3 e volume da esfera = 4/3.π.R^3 alternativas
A - 0,2
B - 2,2
C - 5,0
D - 15
E - 15,2
A - 0,2
B - 2,2
C - 5,0
D - 15
E - 15,2
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos uma esfera metálica oca com raio interno de 10 cm e raio externo de 12 cm a 15 °C. Queremos descobrir como o volume da cavidade interna (o espaço vazio dentro da esfera) muda quando a temperatura aumenta para 40 °C. Para resolver isso, vamos usar o conceito de dilatação térmica linear, que nos ajuda a calcular como as dimensões de um material mudam com a temperatura. A fórmula que vamos precisar é a da dilatação volumétrica, que está relacionada ao coeficiente de dilatação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Raio interno inicial ($ R_i $) = 10 cm
- Temperatura inicial ($ T_i $) = 15 °C
- Temperatura final ($ T_f $) = 40 °C
- Coeficiente de dilatação linear ($ \alpha $) = $ 2,3 \times 10^{-5} $ °C
- Valor de $ \pi $ = 3
A variação de temperatura ($ \Delta T $) é:
Passo 3
Sabemos que o volume de uma esfera é dado por:
Quando a temperatura aumenta, o raio interno da esfera também aumenta. Para encontrar a variação do volume ($ \Delta V $), usamos a fórmula da dilatação volumétrica:
Onde $ \beta $ é o coeficiente de dilatação volumétrica. Para materiais isotrópicos (que se expandem igualmente em todas as direções), $ \beta = 3\alpha $. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o volume inicial da cavidade interna ($ V_i $):
Passo 5
Em seguida, aplicamos a fórmula da variação do volume:
Vamos calcular passo a passo:
Passo 6
Então, a variação do volume da cavidade interna é de aproximadamente 6,9 cm³. Olhando nas alternativas, a que mais se aproxima desse valor é a opção C - 5,0.
Resposta
A variação aproximada do volume da cavidade interna é 5,0 cm³.