Se uma esfera oca de raio a é carregada com uma unidade de eletricidade estática, a intensidade do campo E no ponto P depende da distância x do centro da esfera a P pela seguinte lei:
E(x) = { 0 se 0 <= x < a, 1/(2 a^2) se x = a, 1/x^2 se x > a }
(a) Trace o gráfico de E.
(b) Discuta a continuidade de E.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma esfera oca com raio que está carregada com uma unidade de eletricidade estática. A intensidade do campo elétrico no ponto depende da distância do centro da esfera até conforme a lei dada. A questão tem duas partes:
a) Traçar o gráfico de .
b) Discutir a continuidade de .
Vamos precisar entender como o campo elétrico se comporta em diferentes regiões ao redor da esfera e usar conceitos básicos de eletrostática para resolver.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a), que é traçar o gráfico de . A função é definida em três partes diferentes dependendo do valor de :
Primeiro, vamos entender cada parte:
  1. Dentro da esfera ( ): O campo elétrico é zero. Isso ocorre porque a esfera é oca e toda a carga está distribuída na superfície. Conforme o teorema de Gauss, o campo dentro de uma esfera carregada oca é nulo.
  2. Na superfície da esfera ( ): O campo elétrico tem um valor específico de . Esse é o campo na própria superfície onde a carga está distribuída.
  3. Fora da esfera ( ): O campo elétrico segue a lei do inverso do quadrado da distância, ou seja, . Isso está de acordo com a lei de Coulomb para uma carga pontual ou uma esfera com simetria esférica.

Passo 3

Agora vamos esboçar o gráfico de com base nessas informações.
  1. Para : . Então, o gráfico é uma linha horizontal no eixo igual a zero.
  2. Para : . No ponto , o campo tem um valor positivo de .
  3. Para : . O gráfico dessa função começa em com e decresce à medida que aumenta, aproximando-se de zero, mas nunca tocando o eixo.
Então, o gráfico de terá três partes:
  • Uma linha horizontal zero de a .
  • Um ponto em com .
  • Uma curva decrescente começando desse ponto e continuando para .

Passo 4

Vamos para a parte (b), que é discutir a continuidade de .
A continuidade de uma função em um ponto significa que o limite da função conforme nos aproximamos desse ponto por qualquer direção é igual ao valor da função nesse ponto.
Vamos analisar a continuidade em :
  1. Limite quando se aproxima de pela esquerda ( ):
    • Para , .
    • Então, .
  2. Limite quando se aproxima de pela direita ( ):
    • Para , .
    • Então, .
  3. Valor da função em :
    • .
Comparando os limites e o valor da função:
Como os limites laterais não são iguais entre si nem iguais ao valor da função em , concluímos que apresenta uma descontinuidade em .

Resposta

a) O gráfico de consiste em uma linha horizontal zero para , um ponto em com e uma curva decrescente para .
b) A função é descontínua em , já que os limites quando se aproxima de pela esquerda e pela direita não coincidem com o valor da função nesse ponto.

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