Se uma esfera oca de raio é carregada com uma unidade de eletricidade estática, a intensidade do campo no ponto depende da distância do centro da esfera a pela seguinte lei:
(a) Trace o gráfico de E.
(b) Discuta a continuidade de E.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma esfera oca com raio que está carregada com uma unidade de eletricidade estática. A intensidade do campo elétrico no ponto depende da distância do centro da esfera até conforme a lei dada. A questão tem duas partes:
a) Traçar o gráfico de .
b) Discutir a continuidade de .
Vamos precisar entender como o campo elétrico se comporta em diferentes regiões ao redor da esfera e usar conceitos básicos de eletrostática para resolver.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a), que é traçar o gráfico de . A função é definida em três partes diferentes dependendo do valor de :
Primeiro, vamos entender cada parte:
Dentro da esfera (): O campo elétrico é zero. Isso ocorre porque a esfera é oca e toda a carga está distribuída na superfície. Conforme o teorema de Gauss, o campo dentro de uma esfera carregada oca é nulo.
Na superfície da esfera (): O campo elétrico tem um valor específico de . Esse é o campo na própria superfície onde a carga está distribuída.
Fora da esfera (): O campo elétrico segue a lei do inverso do quadrado da distância, ou seja, . Isso está de acordo com a lei de Coulomb para uma carga pontual ou uma esfera com simetria esférica.
Passo 3
Agora vamos esboçar o gráfico de com base nessas informações.
Para : . Então, o gráfico é uma linha horizontal no eixo igual a zero.
Para : . No ponto , o campo tem um valor positivo de .
Para : . O gráfico dessa função começa em com e decresce à medida que aumenta, aproximando-se de zero, mas nunca tocando o eixo.
Então, o gráfico de terá três partes:
Uma linha horizontal zero de a .
Um ponto em com .
Uma curva decrescente começando desse ponto e continuando para .
Passo 4
Vamos para a parte (b), que é discutir a continuidade de .
A continuidade de uma função em um ponto significa que o limite da função conforme nos aproximamos desse ponto por qualquer direção é igual ao valor da função nesse ponto.
Vamos analisar a continuidade em :
Limite quando se aproxima de pela esquerda ():
Para , .
Então, .
Limite quando se aproxima de pela direita ():
Para , .
Então, .
Valor da função em :
.
Comparando os limites e o valor da função:
Como os limites laterais não são iguais entre si nem iguais ao valor da função em , concluímos que apresenta uma descontinuidade em .
Resposta
a) O gráfico de consiste em uma linha horizontal zero para , um ponto em com e uma curva decrescente para .
b) A função é descontínua em , já que os limites quando se aproxima de pela esquerda e pela direita não coincidem com o valor da função nesse ponto.