Uma esfera num pêndulo cônico gira com velocidade de 1,0 m / s, descrevendo uma trajetória circular e horizontal, de raio r=10 cm, estando a esfera suspensa por meio de um fio ideal. Sendo g=10 m / s^2, qual o valor do ângulo theta que o fio forma com a vertical?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O enunciado fala sobre um pêndulo cônico, onde uma esfera está girando em uma trajetória circular horizontal com uma velocidade de 1,0 , m/s. A esfera está presa por um fio ideal com raio r = 10 , cm, e a aceleração da gravidade g é 10 , m/s²². Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o ângulo theta que o fio faz com a vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um pêndulo cônico. Diferente do pêndulo simples, o pêndulo cônico descreve uma trajetória circular enquanto gira, formando um ângulo constante theta com a vertical. Para resolver isso, precisamos analisar as forças envolvidas e usar conceitos de dinâmica circular.

Passo 3

As duas forças principais atuando na esfera são a tensão no fio ( T) e o peso da esfera ( P). O peso é dado por P = m cdot g, onde m é a massa da esfera e g é a aceleração da gravidade. A tensão no fio tem duas componentes: uma vertical que equilibra o peso e outra horizontal que fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.

Passo 4

Vamos decompor a tensão em suas componentes. A componente vertical do fio é T cdot cos(theta), que equilibra o peso da esfera:
T cdot cos(theta) = m cdot g
A componente horizontal é T cdot sin(theta), que fornece a força centrípeta:
T cdot sin(theta) = m cdot v²r ²
onde v é a velocidade da esfera e r é o raio da trajetória circular.

Passo 5

Agora, vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar a tensão T:
T cdot sin(theta)T cdot cos(theta) = m cdot v²rm cdot g ²
Simplificando, temos:
tan(theta) = v²r cdot g ²

Passo 6

Substituindo os valores fornecidos no exercício:
  • v = 1,0 , m/s
  • r = 10 , cm = 0,10 , m
  • g = 10 , m/s²²
Então:
tan(theta) = (1,0)^20,10 cdot 10 = 11 = 1

Passo 7

Agora, para encontrar o ângulo theta, tiramos a função arco-tangente de 1:
theta = arctan(1) = 45^circ

Resposta

O ângulo theta que o fio forma com a vertical é de 45^circ.

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