Uma esfera num pêndulo cônico gira com velocidade de
, descrevendo uma trajetória circular e horizontal, de raio
, estando a esfera suspensa por meio de um fio ideal. Sendo
, qual o valor do ângulo
que o fio forma com a vertical?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O enunciado fala sobre um pêndulo cônico, onde uma esfera está girando em uma trajetória circular horizontal com uma velocidade de
. A esfera está presa por um fio ideal com raio
, e a aceleração da gravidade
é
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o ângulo
que o fio faz com a vertical.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um pêndulo cônico. Diferente do pêndulo simples, o pêndulo cônico descreve uma trajetória circular enquanto gira, formando um ângulo constante
com a vertical. Para resolver isso, precisamos analisar as forças envolvidas e usar conceitos de dinâmica circular.
Passo 3
As duas forças principais atuando na esfera são a tensão no fio (
) e o peso da esfera (
). O peso é dado por
, onde
é a massa da esfera e
é a aceleração da gravidade. A tensão no fio tem duas componentes: uma vertical que equilibra o peso e outra horizontal que fornece a força centrípeta necessária para o movimento circular.
Passo 4
Vamos decompor a tensão em suas componentes. A componente vertical do fio é
, que equilibra o peso da esfera:
A componente horizontal é
, que fornece a força centrípeta:
onde
é a velocidade da esfera e
é o raio da trajetória circular.
Passo 5
Agora, vamos dividir a segunda equação pela primeira para eliminar a tensão
:
Simplificando, temos:
Passo 6
Substituindo os valores fornecidos no exercício:
Então:
Passo 7
Agora, para encontrar o ângulo
, tiramos a função arco-tangente de 1:
Resposta
O ângulo
que o fio forma com a vertical é de
.