Uma esfera de plástico oca é mantida submersa em um lago de água doce amarrada a uma corda presa no fundo do lago. O colume da esfera é igual a
, e a tensão na corda é igual a 1120 N . A corda se rompe e a esfera sobe até a superfície. Quando ela atinge o equilíbrio, qual é a fraçaõ do volume da esfera que fica submersa?
Passo 1
Entendendo o Problema
Temos uma esfera de plástico oca com um volume de
mantida submersa em um lago de água doce por uma corda que exerce uma tensão de
. Quando a corda se rompe, a esfera sobe até a superfície e atinge o equilíbrio. Queremos descobrir qual fração do volume da esfera permanece submersa nesse equilíbrio.
Matéria Envolvida: Flutuabilidade e Equilíbrio de Forças.
O que Precisamos: Conceitos de empuxo, peso, densidade e as equações que relacionam essas grandezas.
Passo 2
Aplicando o Princípio de Arquimedes
Quando a esfera está submersa, ela experimenta uma força para cima chamada empuxo (
), que é igual ao peso da água deslocada. A força para baixo é o peso da própria esfera (
).
A condição de equilíbrio é quando o empuxo é igual ao peso:
Passo 3
Expressando as Forças em Equação
O empuxo pode ser calculado por:
Onde:
-
é a densidade da água ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é o volume da esfera submerso.
O peso da esfera é:
Mas inicialmente, a esfera está sustentada pela corda, então:
Onde
é a tensão na corda.
Passo 4
Encontrando a Massa da Esfera
Primeiro, calculamos a massa da esfera usando a relação:
Simplificando:
Passo 5
Determinação da Fração Submersa
No equilíbrio após a corda se romper, a força de empuxo agora equilibra apenas o peso da esfera:
Dividindo ambos os lados por
:
Substituindo
:
Passo 6
Calculando a Fração Submersa
Substituindo os valores fornecidos:
Calculando o denominador:
Agora, calculando a fração:
Resposta
A fração do volume da esfera que fica submersa em equilíbrio é aproximadamente 82,4%.