Uma esfera de plástico oca é mantida submersa em um lago de água doce amarrada a uma corda presa no fundo do lago. O colume da esfera é igual a 0,650 m^3, e a tensão na corda é igual a 1120 N . A corda se rompe e a esfera sobe até a superfície. Quando ela atinge o equilíbrio, qual é a fraçaõ do volume da esfera que fica submersa?

Passo 1

Entendendo o Problema
Temos uma esfera de plástico oca com um volume de mantida submersa em um lago de água doce por uma corda que exerce uma tensão de . Quando a corda se rompe, a esfera sobe até a superfície e atinge o equilíbrio. Queremos descobrir qual fração do volume da esfera permanece submersa nesse equilíbrio.
Matéria Envolvida: Flutuabilidade e Equilíbrio de Forças.
O que Precisamos: Conceitos de empuxo, peso, densidade e as equações que relacionam essas grandezas.

Passo 2

Aplicando o Princípio de Arquimedes
Quando a esfera está submersa, ela experimenta uma força para cima chamada empuxo ( Fempuxo = Fpeso ), que é igual ao peso da água deslocada. A força para baixo é o peso da própria esfera ( ).
A condição de equilíbrio é quando o empuxo é igual ao peso:

Passo 3

Expressando as Forças em Equação
O empuxo pode ser calculado por:
Fempuxo = rhoágua cdot g cdot Vsubmerso á
Onde:
  • Fpeso = rhoesfera cdot g cdot Vtotal á é a densidade da água ( Fempuxo = Fpeso + T ),
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é o volume da esfera submerso.
O peso da esfera é:
Mas inicialmente, a esfera está sustentada pela corda, então:
Onde é a tensão na corda.

Passo 4

Encontrando a Massa da Esfera
Primeiro, calculamos a massa da esfera usando a relação:
Fempuxo = Fpeso + T rhoágua cdot g cdot V = rhoesfera cdot g cdot V + T rhoesfera = rhoágua cdot V - TgV áá
Simplificando:
rhoesfera = rhoágua - Tg cdot V á

Passo 5

Determinação da Fração Submersa
No equilíbrio após a corda se romper, a força de empuxo agora equilibra apenas o peso da esfera:
rhoágua cdot g cdot Vsubmerso = rhoesfera cdot g cdot V á
Dividindo ambos os lados por VsubmersoV = rhoesferarhoágua á:
VsubmersoV = rhoágua - Tg cdot Vrhoágua f = 1 - Trhoágua cdot g cdot V á
Substituindo :
ááá

Passo 6

Calculando a Fração Submersa
Substituindo os valores fornecidos:
f = 1 - 1120 , N1000 , kg/m^3 cdot 9,81 , m/s^2 cdot 0,650 , m^3
Calculando o denominador:
1000 cdot 9,81 cdot 0,650 = 6376,5 , N
Agora, calculando a fração:
f = 1 - 11206376,5 approx 1 - 0,1757 approx 0,8243

Resposta

A fração do volume da esfera que fica submersa em equilíbrio é aproximadamente 82,4%.

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