Uma esfera de raio
tem densidade de carga dada por
Aplique a lei de Gauss para calcular o campo elétrico
na região
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eletrostática usando a Lei de Gauss. Temos uma esfera com raio
cm e uma densidade de carga que varia com o raio conforme a expressão
[C/m³]. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico
na região fora da esfera, ou seja, para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. A Lei de Gauss é dada por:
Onde:
-
é o campo elétrico. -
é um elemento de área da superfície. -
é a carga total dentro da superfície gaussiana. -
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Como queremos calcular o campo elétrico fora da esfera (
), vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio
. Devido à simetria do problema, o campo elétrico
será radial e de mesmo módulo em todos os pontos da superfície gaussiana. Assim, a integral de superfície simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a carga total
dentro da esfera de raio
. A densidade de carga é dada por:
A carga total é a integral da densidade sobre o volume da esfera:
Simplificando:
Passo 5
Substituindo
na equação da Lei de Gauss:
Isolando
:
Resposta
O campo elétrico na região
é: