Uma esfera de raio R=10 cm tem densidade de carga dada por
rho(r)=-r10 pi [C / m^3]
Aplique a lei de Gauss para calcular o campo elétrico E na região r>R. [0.7 p t]

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática usando a Lei de Gauss. Temos uma esfera com raio cm e uma densidade de carga que varia com o raio conforme a expressão [C/m³]. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico na região fora da esfera, ou seja, para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. A Lei de Gauss é dada por:
ointsuperfície E cdot dA = Qinternovarepsilon0 í
Onde:
  • é o campo elétrico.
  • é um elemento de área da superfície.
  • é a carga total dentro da superfície gaussiana.
  • é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como queremos calcular o campo elétrico fora da esfera ( E cdot 4pi r^2 = Qinternovarepsilon0 ), vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio . Devido à simetria do problema, o campo elétrico será radial e de mesmo módulo em todos os pontos da superfície gaussiana. Assim, a integral de superfície simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a carga total rho(r) = -r10 pi [C/m^3] dentro da esfera de raio Q = integral0^R rho(r) cdot 4pi r^2 dr = 4pi integral0^R ( -r10 pi ) r^2 dr . A densidade de carga é dada por:
Q = -410 integral0^R r^3 dr = -25 R^4
A carga total é a integral da densidade sobre o volume da esfera:
Simplificando:

Passo 5

Substituindo E cdot 4pi r^2 = -25 R^4 varepsilon0 na equação da Lei de Gauss:
E = -25 R^4 4pi varepsilon0 r^2 = -R^410pi varepsilon0 r^2
Isolando :

Resposta

O campo elétrico na região E = -R^410pi varepsilon0 r^2 , r é:

Exercícios relacionados

Um resistor de 15 k Omega e um capacitor de 20 mu F são ligados em série, e uma ddp de 12 V é aplicada bruscamente ao conjunto. (a) Calcule a constante de tempo do circuito. (b) Determine a carga do capacitor após 150 ms ; © Determine a corrente após 300 ms .
R: a) 0,3 s; b) 9,44 cdot 10^-5 o C; c) 2,94 cdot 10^-4 A
© Encontre o sentido e a magnitude da força exercida sobre o dielétrico, considerando uma diferença de potencial constante De. Despreze o atrito.
Uma esfera de raio R=10 cm tem densidade de carga dada por
rho(r)=-r10 pi [C / m^3]
Aplique a lei de Gauss para calcular o campo elétrico E na região r. [0.8pt]
Considere a partir de agora que a esfera seja condutora, com a mesma carga total Q :
Determine a densidade de carga sigma na superfície da esfera em e / mm^2. [0.7pt]
(Este valor em módulo corresponde ao número de elétrons excedentes por milímetro quadrado da superfície.)