Uma esfera de raio
tem densidade de carga dada por
Aplique a lei de Gauss para calcular o campo elétrico
na região
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eletrostática usando a Lei de Gauss. Temos uma esfera com raio
cm e uma densidade de carga que varia com o raio conforme a expressão
[C/m³]. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico
na região fora da esfera, ou seja, para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. A Lei de Gauss é dada por:
Onde:
-
é o campo elétrico. -
é um elemento de área da superfície. -
é a carga total dentro da superfície gaussiana. -
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Como queremos calcular o campo elétrico fora da esfera (
), vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio
. Devido à simetria do problema, o campo elétrico
será radial e de mesmo módulo em todos os pontos da superfície gaussiana. Assim, a integral de superfície simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a carga total
dentro da esfera de raio
. A densidade de carga é dada por:
A carga total é a integral da densidade sobre o volume da esfera:
Simplificando:
Passo 5
Substituindo
na equação da Lei de Gauss:
Isolando
:
Resposta
O campo elétrico na região
é:
Exercícios relacionados
Um resistor de
e um capacitor de
são ligados em série, e uma ddp de 12 V é aplicada bruscamente ao conjunto. (a) Calcule a constante de tempo do circuito. (b) Determine a carga do capacitor após 150 ms ; © Determine a corrente após 300 ms .
R: a) ; b)
; c)
R: a)
© Encontre o sentido e a magnitude da força exercida sobre o dielétrico, considerando uma diferença de potencial constante
. Despreze o atrito.
Uma esfera de raio
tem densidade de carga dada por
Aplique a lei de Gauss para calcular o campo elétrico
na região
. [0.8pt]
Considere a partir de agora que a esfera seja condutora, com a mesma carga total
:
Determine a densidade de carga na superfície da esfera em
. [0.7pt]
(Este valor em módulo corresponde ao número de elétrons excedentes por milímetro quadrado da superfície.)
Determine a densidade de carga
(Este valor em módulo corresponde ao número de elétrons excedentes por milímetro quadrado da superfície.)