Uma esfera de raio R=10 cm tem densidade de carga dada por
rho(r)=-r10 pi [C / m^3]
Aplique a lei de Gauss para calcular o campo elétrico E na região r. [0.8pt]

Passo 1

Então, a gente tem uma esfera com raio R = 10,cm e uma densidade de carga que varia com a distância do centro, dada por
rho(r) = -r10 pi [C / m^3]
Nosso objetivo é usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico E dentro da esfera, ou seja, para r < R.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( epsilon0):
PhiE = Qencepsilon0
Vamos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio r, onde r < R, centrada no mesmo centro da esfera dada.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a carga total Qenc que está dentro da nossa superfície gaussiana de raio r. Como a densidade de carga varia com r, integramos a densidade sobre o volume da esfera de raio r:
Qenc = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 , dr'
Substituindo rho(r'):
Qenc = integral0^r (-r'10 pi) cdot 4pi r'^2 , dr' = -410 integral0^r r'^3 , dr'

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral0^r r'^3 , dr' = r^44
Então, a carga total dentro da superfície gaussiana é:
Qenc = -410 cdot r^44 = -r^410

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei de Gauss. O fluxo elétrico PhiE através da superfície gaussiana é o produto do campo elétrico E pela área da esfera:
PhiE = E cdot 4pi r^2
De acordo com a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = Qencepsilon0

Passo 6

Substituindo Qenc na equação:
E cdot 4pi r^2 = -r^410epsilon0
Resolvendo para E:
E = -r^4104pi r^2 epsilon0 = -r^240 pi epsilon0

Resposta

O campo elétrico dentro da esfera para r < R é dado por
E(r) = -r^240 pi epsilon0 , r

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