Uma esfera de raio
tem densidade de carga dada por
Aplique a lei de Gauss para calcular o campo elétrico
na região
. [0.8pt]
Passo 1
Então, a gente tem uma esfera com raio
e uma densidade de carga que varia com a distância do centro, dada por
Nosso objetivo é usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico
dentro da esfera, ou seja, para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
):
Vamos escolher uma superfície gaussiana que seja uma esfera de raio
, onde
, centrada no mesmo centro da esfera dada.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a carga total
que está dentro da nossa superfície gaussiana de raio
. Como a densidade de carga varia com
, integramos a densidade sobre o volume da esfera de raio
:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Então, a carga total dentro da superfície gaussiana é:
Passo 5
Agora, aplicamos a Lei de Gauss. O fluxo elétrico
através da superfície gaussiana é o produto do campo elétrico
pela área da esfera:
De acordo com a Lei de Gauss:
Passo 6
Substituindo
na equação:
Resolvendo para
:
Resposta
O campo elétrico dentro da esfera para
é dado por