Uma esfera de raio
tem densidade de carga dada por
Calcule a carga total
da esfera. [0.5pt]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera de raio
com uma densidade de carga dada por
. Nosso objetivo é calcular a carga total
dessa esfera. Para isso, vamos precisar usar conhecimento de cálculo, especificamente a integração em coordenadas esféricas para somar todas as cargas distribuídas na esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a carga total
em uma distribuição de carga contínua pode ser calculada integrando a densidade de carga
sobre o volume da esfera. Matematicamente, isso é representado por:
Passo 3
Como estamos lidando com uma esfera, vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume
é dado por:
Então, nossa integral para a carga total fica:
Passo 4
Substituindo a expressão da densidade de carga
na integral, temos:
Vamos simplificar essa expressão:
Os
se cancelam:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 6
Sabemos que o raio
, que em metros é
. Vamos substituir esse valor na expressão:
Resposta
A carga total da esfera é
.
Exercícios relacionados
Considere a partir de agora que a esfera seja condutora, com a mesma carga total
:
Determine a densidade de carga na superfície da esfera em
. [0.7pt]
(Este valor em módulo corresponde ao número de elétrons excedentes por milímetro quadrado da superfície.)
Determine a densidade de carga
(Este valor em módulo corresponde ao número de elétrons excedentes por milímetro quadrado da superfície.)
Uma esfera de raio
tem densidade de carga dada por
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na região
. [0.8pt]
Uma esfera de raio
tem densidade de carga dada por
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quando uma força de 0,05
atua sobre ela? R: