Uma esfera de raio R=10 cm tem densidade de carga dada por
rho(r)=-r10 pi [C / m^3]
Calcule a carga total Q da esfera. [0.5pt]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera de raio com uma densidade de carga dada por . Nosso objetivo é calcular a carga total dessa esfera. Para isso, vamos precisar usar conhecimento de cálculo, especificamente a integração em coordenadas esféricas para somar todas as cargas distribuídas na esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a carga total Q = integral rho(r) , dV em uma distribuição de carga contínua pode ser calculada integrando a densidade de carga sobre o volume da esfera. Matematicamente, isso é representado por:

Passo 3

Como estamos lidando com uma esfera, vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume dV = 4pi r^2 , dr é dado por:
Q = integral0^R rho(r) cdot 4pi r^2 , dr
Então, nossa integral para a carga total fica:

Passo 4

Substituindo a expressão da densidade de carga Q = integral0^R (-r10pi) cdot 4pi r^2 , dr na integral, temos:
Q = -4pi10pi integral0^R r^3 , dr
Vamos simplificar essa expressão:
Q = -410 integral0^R r^3 , dr
Os se cancelam:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^R r^3 , dr = [ r^44 ]0^R = R^44
Substituindo de volta na expressão de Q = -410 cdot R^44 = -R^410 :

Passo 6

Sabemos que o raio Q = -(0,10)^410 = -0,000110 = -0,00001 , C , que em metros é . Vamos substituir esse valor na expressão:

Resposta

A carga total da esfera é .

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