Uma esfera de raio R tem a carga elétrica distribuída em seu volume de acordo com a densidade rho=alpha r, onde alpha é uma constante e r é a distância de um ponto qualquer da esfera ao seu centro. Determine o raio da esfera interna e cocêntrica que contém 116 da carga total. (Resp. R/2)

Passo 1

Vamos entender o problema: temos uma esfera de raio R com carga elétrica distribuída no seu volume de acordo com a densidade rho = alpha r, onde alpha é uma constante e r é a distância de qualquer ponto ao centro da esfera. Precisamos encontrar o raio r de uma esfera interna e cocêntrica que contenha 116 da carga total.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculos em física, especificamente a integração da densidade de carga sobre o volume da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total Q da esfera. A densidade de carga é rho = alpha r, e em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dV = 4pi r^2 dr. Então, a carga total é dada por:
Q = integral0^R rho , dV = integral0^R alpha r cdot 4pi r^2 dr = 4pi alpha integral0^R r^3 dr

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral para encontrar Q:
integral0^R r^3 dr = [ r^44 ]0^R = R^44
Portanto, a carga total é:
Q = 4pi alpha cdot R^44 = pi alpha R^4

Passo 4

Em seguida, queremos encontrar a carga Q' dentro da esfera interna de raio r. Usando o mesmo processo:
Q' = integral0^r rho , dV = integral0^r alpha r cdot 4pi r^2 dr = 4pi alpha integral0^r r^3 dr = 4pi alpha cdot r^44 = pi alpha r^4

Passo 5

Sabemos que Q' = 116 Q. Vamos substituir os valores encontrados:
pi alpha r^4 = 116 pi alpha R^4
Dividindo ambos os lados por pi alpha:
r^4 = R^416
Tirando a raiz quarta dos dois lados:
r = R2

Resposta

O raio da esfera interna é $ \frac{R}{2} $.

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