Uma esfera de raio tem a carga elétrica distribuída em seu volume de acordo com a densidade , onde é uma constante e é a distância de um ponto qualquer da esfera ao seu centro. Determine o raio da esfera interna e cocêntrica que contém da carga total. (Resp. R/2)

Passo 1

Vamos entender o problema: temos uma esfera de raio com carga elétrica distribuída no seu volume de acordo com a densidade , onde é uma constante e é a distância de qualquer ponto ao centro da esfera. Precisamos encontrar o raio de uma esfera interna e cocêntrica que contenha da carga total.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculos em física, especificamente a integração da densidade de carga sobre o volume da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total da esfera. A densidade de carga é , e em coordenadas esféricas, o elemento de volume é . Então, a carga total é dada por:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral para encontrar :
Portanto, a carga total é:

Passo 4

Em seguida, queremos encontrar a carga dentro da esfera interna de raio . Usando o mesmo processo:

Passo 5

Sabemos que . Vamos substituir os valores encontrados:
Dividindo ambos os lados por :
Tirando a raiz quarta dos dois lados:

Resposta

O raio da esfera interna é $ \frac{R}{2} $.

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