Uma esfera de raio
tem a carga elétrica distribuída em seu volume de acordo com a densidade
, onde
é uma constante e
é a distância de um ponto qualquer da esfera ao seu centro. Determine o raio da esfera interna e cocêntrica que contém
da carga total. (Resp. R/2)
Passo 1
Vamos entender o problema: temos uma esfera de raio
com carga elétrica distribuída no seu volume de acordo com a densidade
, onde
é uma constante e
é a distância de qualquer ponto ao centro da esfera. Precisamos encontrar o raio
de uma esfera interna e cocêntrica que contenha
da carga total.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculos em física, especificamente a integração da densidade de carga sobre o volume da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga total
da esfera. A densidade de carga é
, e em coordenadas esféricas, o elemento de volume é
. Então, a carga total é dada por:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral para encontrar
:
Portanto, a carga total é:
Passo 4
Em seguida, queremos encontrar a carga
dentro da esfera interna de raio
. Usando o mesmo processo:
Passo 5
Sabemos que
. Vamos substituir os valores encontrados:
Dividindo ambos os lados por
:
Tirando a raiz quarta dos dois lados:
Resposta
O raio da esfera interna é $ \frac{R}{2} $.