A carga elétrica Q de uma casca cilíndrica de raios interno a e externo 3 a está distribuída de acordo com a densidade volumétrica rho=alpha / r^2, onde alpha é uma constante e r é a distância de um ponto qualquer do cilindro ao seu eixo central. Mostre que a carga q contida numa camada entre os raios a e 2 a é expressa por q=Ql n^l n 2.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática que envolve distribuição de carga elétrica em uma casca cilíndrica. Precisamos calcular a carga contida numa camada entre os raios e . Para isso, vamos usar conceitos de densidade volumétrica de carga e integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a densidade volumétrica de carga nos diz quanto de carga está presente por unidade de volume. No nosso caso, a densidade é dada por , onde é uma constante e é a distância ao eixo central do cilindro.

Passo 3

Para encontrar a carga dV = 2pi r L dr na camada entre e , precisamos integrar a densidade sobre o volume dessa camada. Em coordenadas cilíndricas, o volume diferencial é dado por:
onde é o comprimento do cilindro.

Passo 4

A carga diferencial dq = rho , dV = alphar^2 cdot 2pi r L dr = 2pi alpha Lr dr em um elemento de volume é:

Passo 5

Agora, vamos integrar q = integrala^2a 2pi alpha Lr dr de até para encontrar a carga total na camada:

Passo 6

A integral de q = 2pi alpha L integrala^2a 1r dr = 2pi alpha L ( ln(2a) - ln(a) ) é o logaritmo natural. Portanto:

Passo 7

Simplificando a diferença de logaritmos:
ln(2a) - ln(a) = ln(2aa) = ln(2)

Passo 8

Substituindo de volta na expressão para q = 2pi alpha L ln(2) :

Resposta

A carga q = 2pi alpha L ln(2) contida na camada entre os raios e é:

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