A carga elétrica de uma casca cilíndrica de raios interno e externo está distribuída de acordo com a densidade volumétrica , onde é uma constante e é a distância de um ponto qualquer do cilindro ao seu eixo central. Mostre que a carga contida numa camada entre os raios e é expressa por .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de eletrostática que envolve distribuição de carga elétrica em uma casca cilíndrica. Precisamos calcular a carga contida numa camada entre os raios e . Para isso, vamos usar conceitos de densidade volumétrica de carga e integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a densidade volumétrica de carga nos diz quanto de carga está presente por unidade de volume. No nosso caso, a densidade é dada por , onde é uma constante e é a distância ao eixo central do cilindro.

Passo 3

Para encontrar a carga na camada entre e , precisamos integrar a densidade sobre o volume dessa camada. Em coordenadas cilíndricas, o volume diferencial é dado por:
onde é o comprimento do cilindro.

Passo 4

A carga diferencial em um elemento de volume é:

Passo 5

Agora, vamos integrar de até para encontrar a carga total na camada:

Passo 6

A integral de é o logaritmo natural. Portanto:

Passo 7

Simplificando a diferença de logaritmos:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

A carga contida na camada entre os raios e é:

Exercícios relacionados

Arquimedes foi convocado para determinar se uma coroa feita para ouro puro. A lenda diz que ele resolveu este problema pesando a coroa depois na água. Suponha que as medidas forneceram 7.84 N no ar Qual deve ter sido a resposta que Arquimedes deu ao rei? (Dados: ).
Utilize o fato de que na superficie da Terra para encontrar a densidade Dados: e
Considere uma barra fina não condutora de comprimento e densidade linear de carga . Determine a força elétrica que a barra exerce sobre uma carga pontual colocada no ponto P, situado a uma distância da extremidade direita da barra. (Resp. )
Uma esfera de raio tem a carga elétrica distribuída em seu volume de acordo com a densidade , onde é uma constante e é a distância de um ponto qualquer da esfera ao seu centro. Determine o raio da esfera interna e cocêntrica que contém da carga total. (Resp. R/2)