A carga elétrica
de uma casca cilíndrica de raios interno
e externo
está distribuída de acordo com a densidade volumétrica
, onde
é uma constante e
é a distância de um ponto qualquer do cilindro ao seu eixo central. Mostre que a carga
contida numa camada entre os raios
e
é expressa por
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eletrostática que envolve distribuição de carga elétrica em uma casca cilíndrica. Precisamos calcular a carga
contida numa camada entre os raios
e
. Para isso, vamos usar conceitos de densidade volumétrica de carga e integração em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a densidade volumétrica de carga
nos diz quanto de carga está presente por unidade de volume. No nosso caso, a densidade é dada por
, onde
é uma constante e
é a distância ao eixo central do cilindro.
Passo 3
Para encontrar a carga
na camada entre
e
, precisamos integrar a densidade
sobre o volume dessa camada. Em coordenadas cilíndricas, o volume diferencial
é dado por:
onde
é o comprimento do cilindro.
Passo 4
A carga diferencial
em um elemento de volume é:
Passo 5
Agora, vamos integrar
de
até
para encontrar a carga total
na camada:
Passo 6
A integral de
é o logaritmo natural. Portanto:
Passo 7
Simplificando a diferença de logaritmos:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
A carga
contida na camada entre os raios
e
é:
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).
Utilize o fato de que
na superficie da Terra para encontrar a densidade Dados:
e
Considere uma barra fina não condutora de comprimento
e densidade linear de carga
. Determine a força elétrica que a barra exerce sobre uma carga pontual
colocada no ponto P, situado a uma distância
da extremidade direita da barra. (Resp.
)
Uma esfera de raio
tem a carga elétrica distribuída em seu volume de acordo com a densidade
, onde
é uma constante e
é a distância de um ponto qualquer da esfera ao seu centro. Determine o raio da esfera interna e cocêntrica que contém
da carga total. (Resp. R/2)