Uma esfera sólida de diâmetro
e emissividade superficial de 0,30 é pré-aquecida e então suspensa em uma grande câmara de vácuo resfriada criogenicamente e cujas superfícies internas são mantidas a
. Qual a taxa de variação da energia acumulada no sólido quando a sua temperatura é de
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma esfera sólida com diâmetro de
e emissividade superficial de 0,30. Ela está sendo pré-aquecida e depois colocada em uma câmara de vácuo super fria, onde as paredes estão a
. A gente quer descobrir qual é a taxa de variação da energia que a esfera está perdendo quando sua temperatura é de
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de radiação térmica, que é a forma como objetos emitem energia na forma de ondas eletromagnéticas. As fórmulas principais que vamos precisar são as leis de Stefan-Boltzmann para calcular a energia irradiada por um corpo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da esfera, porque a energia irradiada depende da área da superfície do objeto. A fórmula para a área de uma esfera é:
Como o diâmetro da esfera é
, o raio
é metade disso:
Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos usar a lei de Stefan-Boltzmann para calcular a potência irradiada pela esfera. A fórmula é:
Onde:
-
é a emissividade (0,30) -
é a constante de Stefan-Boltzmann ( ) -
é a área da esfera ( ) -
é a temperatura da esfera ( ) -
é a temperatura ambiente ( )
Passo 4
Vamos calcular a diferença das temperaturas elevadas à quarta potência:
Então,
(Como
é muito maior que
, podemos aproximar essa diferença como aproximadamente
)
Passo 5
Agora, substituímos todos os valores na fórmula da potência:
Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, multiplicamos a emissividade e a constante:
Depois, multiplicamos pela área:
Finalmente, multiplicamos pela diferença de
:
Resposta
A taxa de variação da energia acumulada na esfera quando sua temperatura é de
é aproximadamente
.