Uma esfera sólida de diâmetro 1 m e emissividade superficial de 0,30 é pré-aquecida e então suspensa em uma grande câmara de vácuo resfriada criogenicamente e cujas superfícies internas são mantidas a 80 K. Qual a taxa de variação da energia acumulada no sólido quando a sua temperatura é de 600 K ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos uma esfera sólida com diâmetro de 1 m e emissividade superficial de 0,30. Ela está sendo pré-aquecida e depois colocada em uma câmara de vácuo super fria, onde as paredes estão a 80 K. A gente quer descobrir qual é a taxa de variação da energia que a esfera está perdendo quando sua temperatura é de 600 K.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de radiação térmica, que é a forma como objetos emitem energia na forma de ondas eletromagnéticas. As fórmulas principais que vamos precisar são as leis de Stefan-Boltzmann para calcular a energia irradiada por um corpo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da esfera, porque a energia irradiada depende da área da superfície do objeto. A fórmula para a área de uma esfera é:
A = 4pi r^2
Como o diâmetro da esfera é 1 m, o raio r é metade disso:
r = 12 = 0,5 m
Então, substituindo na fórmula:
A = 4pi (0,5)^2 = 4pi times 0,25 = pi m^2

Passo 3

Agora, vamos usar a lei de Stefan-Boltzmann para calcular a potência irradiada pela esfera. A fórmula é:
P = epsilon sigma A (T^4 - Tamb^4)
Onde:
  • epsilon é a emissividade (0,30)
  • sigma é a constante de Stefan-Boltzmann ( 5,67 times 10^-8 W/m^2 K^4)
  • A é a área da esfera ( pi m^2)
  • T é a temperatura da esfera ( 600 K)
  • Tamb é a temperatura ambiente ( 80 K)

Passo 4

Vamos calcular a diferença das temperaturas elevadas à quarta potência:
T^4 = (600)^4 = 1,296 times 10^11 K^4
Tamb^4 = (80)^4 = 4,096 times 10^7 K^4
Então,
T^4 - Tamb^4 = 1,296 times 10^11 - 4,096 times 10^7 approx 1,296 times 10^11 K^4
(Como T^4 é muito maior que Tamb^4, podemos aproximar essa diferença como aproximadamente 1,296 times 10^11 K^4)

Passo 5

Agora, substituímos todos os valores na fórmula da potência:
P = 0,30 times 5,67 times 10^-8 times pi times 1,296 times 10^11
Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, multiplicamos a emissividade e a constante:
0,30 times 5,67 times 10^-8 = 1,701 times 10^-8
Depois, multiplicamos pela área:
1,701 times 10^-8 times pi approx 1,701 times 10^-8 times 3,1416 approx 5,34 times 10^-8
Finalmente, multiplicamos pela diferença de T^4:
5,34 times 10^-8 times 1,296 times 10^11 approx 6,928 times 10^3 W

Resposta

A taxa de variação da energia acumulada na esfera quando sua temperatura é de 600 K é aproximadamente 6,93 times 10^3 W.

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