Uma esfera sólida de metal de 10 cm de diâmetro [
, inicialmente a uma temperatura uniforme
, é repentinamente imersa em um fluido bem agitado, que é mantido a uma temperatura uniforme
. O coeficiente de calor entre a esfera e o fluido é
.
b) Se for possível, determine a temperatura da esfera de metal em t
, 10 e 20 minutos depois da imersão.
b) Se for possível, determine a temperatura da esfera de metal em t
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera de metal com 10 cm de diâmetro que começa a uma temperatura de 230 °C e é mergulhada de repente em um fluido que está a 40 °C. Queremos descobrir qual vai ser a temperatura da esfera depois de 5, 10 e 20 minutos. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especialmente a lei de resfriamento de Newton e verificar se podemos aplicar a hipótese de capacidade térmica concentrada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se podemos simplificar o problema usando a hipótese de capacidade térmica concentrada. Essa hipótese funciona quando a temperatura dentro da esfera é quase uniforme durante o resfriamento. Para isso, a gente calcula o número de Biot (Bi), que relaciona a resistência interna ao fluxo de calor na superfície. A fórmula é:
Onde:
- $ h $ é o coeficiente de transferência de calor (220 W/m²°C),
- $ L_c $ é o comprimento característico (para uma esfera, é o volume sobre a área de superfície, que para esfera é $ \frac{3R}{3} = R $),
- $ k $ é a condutividade térmica (400 W/m°C).
Vamos calcular o raio da esfera primeiro.
Passo 3
A esfera tem diâmetro de 10 cm, então o raio $ R $ é metade disso:
Então, o comprimento característico $ L_c $ para a esfera é igual ao raio:
Passo 4
Agora vamos calcular o número de Biot:
Como $ Bi < 0,1 $, podemos usar a hipótese de capacidade térmica concentrada, ou seja, a temperatura na esfera é praticamente uniforme durante o resfriamento.
Passo 5
Com essa simplificação, podemos aplicar a lei de resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda com o tempo quando está em contato com um fluido de temperatura constante. A equação é:
Onde:
- $ T $ é a temperatura da esfera no tempo $ t $,
- $ T_\infty $ é a temperatura do fluido (40 °C),
- $ A $ é a área de superfície da esfera,
- $ m $ é a massa da esfera,
- $ C_p $ é o calor específico da esfera.
Vamos reorganizar a equação para resolver para $ T(t) $.
Passo 6
Separando as variáveis e integrando, chegamos à solução:
Onde $ T_0 $ é a temperatura inicial (230 °C). Agora, precisamos calcular $ A $, $ m $ e então substituir na equação.
Passo 7
Calculando a área de superfície $ A $ da esfera:
Agora, vamos calcular o volume $ V $ da esfera para encontrar a massa $ m $:
A densidade $ \rho $ é 8.954 kg/m³, então:
Passo 8
Agora substituímos os valores na equação de $ T(t) $:
Vamos simplificar o expoente:
Mas note que o tempo está em minutos, precisamos ajustar as unidades para segundos ou manter em minutos.
Passo 9
Para consistência, vamos manter o tempo em minutos. A taxa de resfriamento $ k $ será:
Então, a equação fica:
Passo 10
Agora, vamos calcular $ T(t) $ para $ t = 5 $, $ 10 $ e $ 20 $ minutos.
Para $ t = 5 $ minutos:
Para $ t = 10 $ minutos:
Para $ t = 20 $ minutos:
Resposta
Após 5, 10 e 20 minutos, a temperatura da esfera de metal será aproximadamente 40 °C.