Uma esfera sólida de metal de 10 cm de diâmetro [ rho =8.954 kg / m^3, Cp=383 J /(kg ^circ C), k=400 W / m ^circ C], inicialmente a uma temperatura uniforme T=230^circ C, é repentinamente imersa em um fluido bem agitado, que é mantido a uma temperatura uniforme Tinfty=40^circ C. O coeficiente de calor entre a esfera e o fluido é h=220 W / m 2 ^circ C.
b) Se for possível, determine a temperatura da esfera de metal em t =5, 10 e 20 minutos depois da imersão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma esfera de metal com 10 cm de diâmetro que começa a uma temperatura de 230 °C e é mergulhada de repente em um fluido que está a 40 °C. Queremos descobrir qual vai ser a temperatura da esfera depois de 5, 10 e 20 minutos. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especialmente a lei de resfriamento de Newton e verificar se podemos aplicar a hipótese de capacidade térmica concentrada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos simplificar o problema usando a hipótese de capacidade térmica concentrada. Essa hipótese funciona quando a temperatura dentro da esfera é quase uniforme durante o resfriamento. Para isso, a gente calcula o número de Biot (Bi), que relaciona a resistência interna ao fluxo de calor na superfície. A fórmula é:
Bi = h cdot Lck
Onde:
  • $ h $ é o coeficiente de transferência de calor (220 W/m²°C),
  • $ L_c $ é o comprimento característico (para uma esfera, é o volume sobre a área de superfície, que para esfera é $ \frac{3R}{3} = R $),
  • $ k $ é a condutividade térmica (400 W/m°C).
Vamos calcular o raio da esfera primeiro.

Passo 3

A esfera tem diâmetro de 10 cm, então o raio $ R $ é metade disso:
R
Então, o comprimento característico $ L_c $ para a esfera é igual ao raio:
R = 10 , cm2 = 5 , cm = 0,05 , m

Passo 4

Agora vamos calcular o número de Biot:
Bi = 220 , W/m^2,^circC times 0,05 , m400 , W/m^circC = 11400 = 0,0275
Como $ Bi < 0,1 $, podemos usar a hipótese de capacidade térmica concentrada, ou seja, a temperatura na esfera é praticamente uniforme durante o resfriamento.

Passo 5

Com essa simplificação, podemos aplicar a lei de resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda com o tempo quando está em contato com um fluido de temperatura constante. A equação é:
dTdt = -h cdot Am cdot Cp (T - Tinfty)
Onde:
  • $ T $ é a temperatura da esfera no tempo $ t $,
  • $ T_\infty $ é a temperatura do fluido (40 °C),
  • $ A $ é a área de superfície da esfera,
  • $ m $ é a massa da esfera,
  • $ C_p $ é o calor específico da esfera.
Vamos reorganizar a equação para resolver para $ T(t) $.

Passo 6

Separando as variáveis e integrando, chegamos à solução:
T(t) = Tinfty + (T0 - Tinfty) e^-h cdot Am cdot Cp t
Onde $ T_0 $ é a temperatura inicial (230 °C). Agora, precisamos calcular $ A $, $ m $ e então substituir na equação.

Passo 7

Calculando a área de superfície $ A $ da esfera:
A
Agora, vamos calcular o volume $ V $ da esfera para encontrar a massa $ m $:
A = 4pi R^2 = 4pi (0,05)^2 = 4 pi times 0,0025 = 0,0314 , m^2
A densidade $ \rho $ é 8.954 kg/m³, então:
V

Passo 8

Agora substituímos os valores na equação de $ T(t) $:
T(t)
Vamos simplificar o expoente:
T(t) = 40 + (230 - 40) e^-220 times 0,03140,00469 times 383 t
Mas note que o tempo está em minutos, precisamos ajustar as unidades para segundos ou manter em minutos.

Passo 9

Para consistência, vamos manter o tempo em minutos. A taxa de resfriamento $ k $ será:
k
Então, a equação fica:
k = h cdot Am cdot Cp = 220 times 0,03140,00469 times 383 approx 3.849 , min^-1

Passo 10

Agora, vamos calcular $ T(t) $ para $ t = 5 $, $ 10 $ e $ 20 $ minutos.
Para $ t = 5 $ minutos:
T(t)
Para $ t = 10 $ minutos:
t = 5
Para $ t = 20 $ minutos:
10

Resposta

Após 5, 10 e 20 minutos, a temperatura da esfera de metal será aproximadamente 40 °C.

Exercícios relacionados