Uma esfera sólida (não-condutora) tem raio R e densidade volumétrica de carga constante rho<0. Calcule o campo elétrico em todos os pontos do espaço. Explique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o campo elétrico em todos os pontos do espaço devido a uma esfera sólida não-condutora com raio e densidade volumétrica de carga constante . Vamos usar os conceitos de Eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos em situações com alta simetria, como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em dois casos: quando estamos dentro da esfera ( ) e quando estamos fora dela ( ). A ideia é calcular o campo elétrico em cada região usando uma superfície imaginária chamada de superfície gaussiana.

Passo 3

Dentro da Esfera ( oint E cdot dA = Qintvarepsilon0 )

Aqui, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio Qint = rho cdot 43pi r^3 menor que E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi r^3varepsilon0 . Pela simetria, o campo elétrico E = rho r3varepsilon0 tem a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e é radial.
A Lei de Gauss diz que:
Qint = rho cdot 43pi R^3
Onde:
  • E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi R^3varepsilon0 é a carga total dentro da superfície gaussiana.
  • E = rho R^33varepsilon0 r^2 é a permissividade do vácuo.
Como a densidade volumétrica de carga é constante ( ), a carga interna é:
Substituindo na Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Fora da Esfera ( )

Agora, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio maior ou igual a . Toda a carga da esfera está dentro dessa superfície, então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Resposta

O campo elétrico E(r) = rho r3varepsilon0 & para r < R rho R^33varepsilon0 r^2 & para r >= R gerado pela esfera sólida não-condutora com densidade volumétrica de carga constante é dado por:
Ou seja, dentro da esfera, o campo elétrico aumenta linearmente com a distância ao centro, e fora da esfera, ele diminui proporcionalmente ao quadrado da distância.

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