Uma esfera sólida (não-condutora) tem raio e densidade volumétrica de carga constante . Calcule o campo elétrico em todos os pontos do espaço. Explique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o campo elétrico em todos os pontos do espaço devido a uma esfera sólida não-condutora com raio e densidade volumétrica de carga constante . Vamos usar os conceitos de Eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, que é super útil para encontrar campos elétricos em situações com alta simetria, como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em dois casos: quando estamos dentro da esfera () e quando estamos fora dela (). A ideia é calcular o campo elétrico em cada região usando uma superfície imaginária chamada de superfície gaussiana.
Passo 3
Dentro da Esfera ()
Aqui, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio menor que . Pela simetria, o campo elétrico tem a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e é radial.
A Lei de Gauss diz que:
Onde:
é a carga total dentro da superfície gaussiana.
é a permissividade do vácuo.
Como a densidade volumétrica de carga é constante (), a carga interna é:
Substituindo na Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Fora da Esfera ()
Agora, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio maior ou igual a . Toda a carga da esfera está dentro dessa superfície, então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Resposta
O campo elétrico gerado pela esfera sólida não-condutora com densidade volumétrica de carga constante é dado por:
Ou seja, dentro da esfera, o campo elétrico aumenta linearmente com a distância ao centro, e fora da esfera, ele diminui proporcionalmente ao quadrado da distância.