Uma partícula de massa m e energia total zero se encontra em uma região do espaço na qual a função de onda é psi(x)=Ce^-x^2 / L^2.
a) Determine a energia potencial V(x) da partícula em função de x;
b) faça um gráfico de V(x) em função de x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa $ m $ e energia total zero, cuja função de onda é $ \psi(x) = C e{-x{2} / L^{2}} $. O conteúdo envolve mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger independente do tempo. Para resolver, vamos precisar aplicar a equação de Schrödinger para encontrar a energia potencial $ V(x) $, e depois fazer um gráfico dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de Schrödinger independente do tempo para uma dimensão:
-hbar^22m d^2psi(x)dx^2 + V(x)psi(x) = Epsi(x)
No nosso caso, a energia total $ E = 0 $, então a equação fica:
E = 0

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar $ V(x) $. Vamos isolar $ V(x) $:
V(x)
V(x)

Passo 4

Agora, precisamos calcular a segunda derivada da função de onda $ \psi(x) = C e{-x{2} / L^{2}} $. Vamos primeiro encontrar a primeira derivada:
psi(x) = C e^-x^2 / L^2
Agora, a segunda derivada:
dpsidx = C cdot (-2xL^2) e^-x^2/L^2 = -2xL^2 psi(x)
Simplificando:
d^2psidx^2 = ddx(-2xL^2 psi(x)) = -2L^2 psi(x) + (-2xL^2)(-2xL^2) psi(x)

Passo 5

Substituindo a segunda derivada na expressão para $ V(x) $:
V(x)
Podemos simplificar:
V(x) = hbar^22m cdot (4x^2L^4 - 2L^2) psi(x)psi(x) = hbar^22m (4x^2L^4 - 2L^2)

Passo 6

Agora, temos a expressão para a energia potencial $ V(x) $ em função de $ x $:
V(x)

Passo 7

Para o item b), vamos analisar o gráfico de $ V(x) $. Observando a expressão, vemos que $ V(x) $ é uma função quadrática de $ x $, ou seja, uma parábola. O termo $ \frac{2\hbar^{2}}{m L^{4}} x^{2} $ determina a concavidade para cima, e o termo constante $ -\frac{\hbar^{2}}{m L^{2}} $ desloca a parábola para baixo.

Resposta

a) A energia potencial da partícula em função de $ x $ é:
x
b) O gráfico de $ V(x) $ é uma parábola com concavidade para cima, deslocada para baixo no eixo $ V $, conforme a expressão acima.

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