Uma partícula de massa m e energia total zero se encontra em uma região do espaço na qual a função de onda é psi(x)=Ce^-x^2 / L^2.
a) Determine a energia potencial V(x) da partícula em função de x;
b) faça um gráfico de V(x) em função de x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa $ m $ e energia total zero, cuja função de onda é $ \psi(x) = C e{-x{2} / L^{2}} $. O conteúdo envolve mecânica quântica, especificamente a equação de Schrödinger independente do tempo. Para resolver, vamos precisar aplicar a equação de Schrödinger para encontrar a energia potencial $ V(x) $, e depois fazer um gráfico dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de Schrödinger independente do tempo para uma dimensão:
-hbar^22m d^2psi(x)dx^2 + V(x)psi(x) = Epsi(x)
No nosso caso, a energia total $ E = 0 $, então a equação fica:
E = 0

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar $ V(x) $. Vamos isolar $ V(x) $:
V(x)
V(x)

Passo 4

Agora, precisamos calcular a segunda derivada da função de onda $ \psi(x) = C e{-x{2} / L^{2}} $. Vamos primeiro encontrar a primeira derivada:
psi(x) = C e^-x^2 / L^2
Agora, a segunda derivada:
dpsidx = C cdot (-2xL^2) e^-x^2/L^2 = -2xL^2 psi(x)
Simplificando:
d^2psidx^2 = ddx(-2xL^2 psi(x)) = -2L^2 psi(x) + (-2xL^2)(-2xL^2) psi(x)

Passo 5

Substituindo a segunda derivada na expressão para $ V(x) $:
V(x)
Podemos simplificar:
V(x) = hbar^22m cdot (4x^2L^4 - 2L^2) psi(x)psi(x) = hbar^22m (4x^2L^4 - 2L^2)

Passo 6

Agora, temos a expressão para a energia potencial $ V(x) $ em função de $ x $:
V(x)

Passo 7

Para o item b), vamos analisar o gráfico de $ V(x) $. Observando a expressão, vemos que $ V(x) $ é uma função quadrática de $ x $, ou seja, uma parábola. O termo $ \frac{2\hbar^{2}}{m L^{4}} x^{2} $ determina a concavidade para cima, e o termo constante $ -\frac{\hbar^{2}}{m L^{2}} $ desloca a parábola para baixo.

Resposta

a) A energia potencial da partícula em função de $ x $ é:
x
b) O gráfico de $ V(x) $ é uma parábola com concavidade para cima, deslocada para baixo no eixo $ V $, conforme a expressão acima.

Exercícios relacionados

Um plano infinito muito fino tem densidade superficial de carga constante 1 C / m^2. Supondo que um disco de raio R seja removido do plano, calcule o campo elétrico ao longo de uma reta (de altura h ) que passa pelo centro do disco removido e faz um ângulo de pi / 2 com o plano. Explique.
Uma esfera sólida (não-condutora) tem raio R e densidade volumétrica de carga constante rho<0. Calcule o campo elétrico em todos os pontos do espaço. Explique.
Considere uma certa mola que não obedece rigorosamente à lei de Hooke. Uma das extremidades da mola é mantida fixa. Para manter a mola comprimida ou esticada a uma distância x, é necessário aplicar uma força na extremi- dade livre da mola ao longo do eixo x com módulo dado por Fx=k x-b x^2+c x^3. Aqui, k=100 N / m, b=700 N / m^2 e c=12000 N / m^3.
c) É mais fácil comprimir ou esticar essa mola? Explique por que, em termos da dependência de Fx com x. (Muitas molas reais se comportam qualitativamente do mesmo modo.)
Com o auxílio de lasers sintonizáveis, foram produzidos átomos de Rydberg do sódio com n approx 100. O diâmetro atômico resultante corresponderia no hidrogênio a n approx 600.
Qual seria o diâmetro de um átomo de hidrogênio com o elétron na órbita n=600 ?