Um plano infinito muito fino tem densidade superficial de carga constante 1 C / m^2. Supondo que um disco de raio R seja removido do plano, calcule o campo elétrico ao longo de uma reta (de altura h ) que passa pelo centro do disco removido e faz um ângulo de pi / 2 com o plano. Explique.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um plano infinito e muito fino com uma densidade superficial de carga constante de 1 , C/m²². Imagina esse plano como uma folha super grande e carregada. Agora, tiramos um disco de raio R desse plano. A pergunta é: qual é o campo elétrico ao longo de uma linha que passa pelo centro desse disco removido, está a uma altura h acima do plano e faz um ângulo de pi/2 com ele.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de campo elétrico devido a uma superfície carregada e superposição de campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por um plano infinito carregado. Pelo Princípio de Gauss, sabemos que o campo elétrico ( Eplano) criado por um plano infinito com densidade superficial de carga sigma é dado por:
Eplano = sigma2epsilon0
Aqui, epsilon0 é a permissividade do vácuo ( approx 8,85 times 10^-12 , C²/(N·m²)²²).

Passo 3

Agora, como removemos um disco do plano infinito, isso é equivalente a subtrair o campo elétrico que esse disco específico geraria se estivesse presente. Ou seja, o campo resultante ( Eresu) será o campo do plano infinito menos o campo do disco removido.

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico devido ao disco removido. Para um ponto no eixo perpendicular ao centro do disco, a expressão do campo elétrico ( Edisco) é:
Edisco = sigma2epsilon0 (1 - hraizh^2 + R^2)
Essa fórmula considera a contribuição de todas as partes do disco ao ponto a uma altura h.

Passo 5

Finalmente, o campo elétrico total no ponto desejado será o campo do plano infinito menos o campo do disco removido:
Eresu
Simplificando:
Eresu

Resposta

O campo elétrico ao longo da linha especificada é:
E = sigma2epsilon0 cdot hraizh^2 + R^2
Substituindo sigma = 1 , C/m²², temos:
E = 12epsilon0 cdot hraizh^2 + R^2 , N/C

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