Uma esfera uniforme de massa M=1 kg e raio R=0.1 m desce rolando uma inclinação de 5 m sem deslizar. Qual é a velocidade angular da esfera ao chegar ao final da inclinação?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera uniforme com massa M = 1, kg e raio R = 0,1, m que desce rolando sem deslizar por uma inclinação de comprimento 5, m. Queremos descobrir qual é a velocidade angular omega da esfera ao chegar ao final dessa inclinação.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica (cinética e potencial) e movimento de rotação. Também vamos aplicar a condição de rolamento sem deslizamento, que relaciona a velocidade linear com a velocidade angular.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a energia que a esfera tem no início e no final do trajeto. No início, a esfera está parada, então sua energia cinética é zero, mas ela tem energia potencial gravitacional devido à sua altura.
Ao descer pela inclinação, essa energia potencial se transforma em energia cinética de translação (movimento para baixo) e energia cinética de rotação (giro da esfera).
A energia potencial inicial Ep é dada por:
Ep = mgh
onde:
  • m é a massa da esfera,
  • g é a aceleração da gravidade ( approx 9,81, m/s^2),
  • h é a altura da inclinação.
Precisamos descobrir a altura h da inclinação. Sabemos que o comprimento da inclinação L = 5, m e, para calcular h, precisaríamos do ângulo de inclinação, mas como não foi fornecido, vamos assumir que a inclinação é onde a esfera desce verticalmente (o que é uma simplificação). Então, vamos considerar h = 5, m.

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética total no final do trajeto. A energia cinética total Ek é a soma da energia cinética de translação ( Ekt) e da energia cinética de rotação ( Ekr):
Ek = Ekt + Ekr = 12mv^2 + 12Iomega^2
Para uma esfera sólida, o momento de inércia I é:
I = 25mR^2
Além disso, como a esfera rola sem deslizar, a velocidade linear v está relacionada à velocidade angular omega pela relação:
v = omega R implies omega = vR

Passo 4

Vamos igualar a energia potencial inicial à energia cinética total no final:
mgh = 12mv^2 + 12Iomega^2
Substituindo I e omega na equação:
mgh = 12mv^2 + 12 ( 25mR^2 ) ( vR )^2
Simplificando:
mgh = 12mv^2 + 15mv^2 = 710mv^2
Agora, podemos resolver para v:
v^2 = 10gh7 implies v = raiz10gh7

Passo 5

Finalmente, usando a relação entre v e omega:
omega = vR = 1R raiz10gh7
Substituindo os valores:
omega = 10,1 raiz10 times 9,81 times 57 omega = 10 times raiz490,57 omega = 10 times raiz70,07 omega approx 10 times 8,37 omega approx 83,7, rad/s

Resposta

A velocidade angular da esfera ao chegar ao final da inclinação é aproximadamente 83,7, rad/s.

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