Um disco de massa M=3 kg e raio R=0.4 m rola sem deslizar por uma rampa inclinada. Ao atingir a base da rampa, sua velocidade de translação é 6 ms^-1. Qual era a altura inicial da rampa?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um disco com massa e raio que rola sem deslizar por uma rampa inclinada. Quando ele chega na base da rampa, sua velocidade de translação é . Queremos descobrir qual era a altura inicial da rampa.
Aqui, vamos usar conceitos de energia mecânica, que envolvem energia potencial e energia cinética. A gente precisa considerar que o disco tem tanto energia de movimento linear (translação) quanto energia de movimento rotacional.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a energia mecânica total no início (quando o disco está no topo da rampa) é toda energia potencial gravitacional, já que o disco está parado. A fórmula da energia potencial é:
Ep = m cdot g cdot h
onde:
  • é a massa,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura.

Passo 3

Quando o disco chega na base da rampa, ele tem energia cinética que é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação. As fórmulas são:
Ectrans = 12 m v^2
Ecrot = 12 I omega^2
onde:
  • é o momento de inércia do disco,
  • é a velocidade angular.

Passo 4

Como o disco rola sem deslizar, a velocidade linear v = omega R Rightarrow omega = vR e a velocidade angular I = 12 m R^2 estão relacionadas pela fórmula:
Além disso, para um disco sólido, o momento de inércia é:

Passo 5

Vamos substituir Ecrot = 12 ( 12 m R^2 ) ( vR )^2 = 14 m v^2 e na energia cinética de rotação:

Passo 6

Então, a energia cinética total na base da rampa é:
Ec = Ectrans + Ecrot = 12 m v^2 + 14 m v^2 = 34 m v^2

Passo 7

Pela conservação da energia, a energia potencial inicial é igual à energia cinética na base:
m g h = 34 m v^2
Note que a massa aparece nos dois lados e pode ser cancelada.

Passo 8

Resolvendo para h = 34 cdot v^2g :

Passo 9

Agora, substituímos os valores dados:
h = 34 cdot (6)^29,8 = 34 cdot 369,8 = 34 cdot 3,6735 approx 2,755 , m

Resposta

A altura inicial da rampa era aproximadamente .

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