Um disco de massa
e raio
rola sem deslizar por uma rampa inclinada. Ao atingir a base da rampa, sua velocidade de translação é
. Qual era a altura inicial da rampa?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um disco com massa
e raio
que rola sem deslizar por uma rampa inclinada. Quando ele chega na base da rampa, sua velocidade de translação é
. Queremos descobrir qual era a altura inicial da rampa.
Aqui, vamos usar conceitos de energia mecânica, que envolvem energia potencial e energia cinética. A gente precisa considerar que o disco tem tanto energia de movimento linear (translação) quanto energia de movimento rotacional.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a energia mecânica total no início (quando o disco está no topo da rampa) é toda energia potencial gravitacional, já que o disco está parado. A fórmula da energia potencial é:
onde:
-
é a massa, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura.
Passo 3
Quando o disco chega na base da rampa, ele tem energia cinética que é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação. As fórmulas são:
onde:
-
é o momento de inércia do disco, -
é a velocidade angular.
Passo 4
Como o disco rola sem deslizar, a velocidade linear
e a velocidade angular
estão relacionadas pela fórmula:
Além disso, para um disco sólido, o momento de inércia é:
Passo 5
Vamos substituir
e
na energia cinética de rotação:
Passo 6
Então, a energia cinética total na base da rampa é:
Passo 7
Pela conservação da energia, a energia potencial inicial é igual à energia cinética na base:
Note que a massa
aparece nos dois lados e pode ser cancelada.
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Agora, substituímos os valores dados:
Resposta
A altura inicial da rampa era aproximadamente
.