Esferas de pães de milho ( rho=0,22 g / cm^3, k=2,55 W / m K e Cp=1,13 kJ / kg K ) de 5 cm de diâmetro são assadas e saem do forno a 200^circ C. Ficam reservadas à temperatura ambiente ( 25^circ C ) até serem resfriadas à 30^circ C, quando são embaladas. Se o coeficiente médio de transferència de calor ( h ) é de 10,0 W / m^2 K, determine:
a) O tempo gasto para restriamento de um pão de milho:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre esferas de pão de milho que saem do forno a 200°C e precisam esfriar até 30°C, quando serão embaladas. A temperatura ambiente é de 25°C. A gente vai trabalhar com conceitos de transferência de calor, mais especificamente com a Lei de Resfriamento de Newton. Para resolver, vamos precisar das propriedades físicas do pão (densidade, condutividade térmica, capacidade calorífica), o diâmetro das esferas, o coeficiente de transferência de calor e aplicar a fórmula que relaciona massa, capacidade calorífica, área e tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa de uma esfera de pão. A massa (m) é dada pela densidade (ρ) multiplicada pelo volume (V). Como estamos lidando com esferas, o volume é calculado pela fórmula:
V = 43 pi r^3
Onde é o raio da esfera. O diâmetro é de 5 cm, então o raio é 2,5 cm ou 0,025 m.

Passo 3

Vamos calcular o volume:
V = 43 pi (0,025)^3
V approx 43 times 3,1416 times 1,5625 times 10^-5
V approx 6,54498 times 10^-5 , m^3

Passo 4

Agora, convertendo a densidade de g/cm³ para kg/m³ para facilitar os cálculos:
rho = 0,22 , g/cm^3 = 220 , kg/m^3
Então, a massa é:
m = rho times V
m = 220 times 6,54498 times 10^-5
m approx 0,0144 , kg

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da Lei de Resfriamento de Newton, que relaciona a quantidade de calor transferida com o tempo:
Q = m cdot Cp cdot De
Onde:
  • Q = h cdot A cdot De é o calor transferido,
  • m cdot Cp cdot De é a massa,
  • m cdot Cp = h cdot A cdot t é a capacidade calorífica,
  • t = m cdot Cph cdot A é a variação de temperatura.
Também sabemos que:
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor,
  • é a área da esfera,
  • é o tempo.
Igualando as duas expressões para :
Podemos simplificar dos dois lados:
Isolando o tempo :

Passo 6

Vamos calcular a área da esfera:
A = 4 pi r^2
A = 4 times 3,1416 times (0,025)^2
A approx 4 times 3,1416 times 0,000625
A approx 0,00785398 , m^2

Passo 7

Agora, substituindo todos os valores na fórmula do tempo:
m = 0,0144 , kg
Cp = 1,13 , kJ/kg⋅K = 1130 , J/kg⋅K
h = 10,0 , W/m^2⋅K
A = 0,00785398 , m^2
t = 0,0144 times 113010,0 times 0,00785398
t = 16,2720,0785398
t approx 207,3 , segundos

Resposta

O tempo gasto para o resfriamento de um pão de milho é de aproximadamente 207,3 segundos, ou cerca de 3 minutos e 27 segundos.

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