O espaço entre duas cascas esféricas condutoras é preenchido por um material com uma resistividade de 10^9 Omega m. Se a casca de dentro tem um raio de 1,5 cm e a de fora tem um raio de 5 cm, qual é a resistência entre as duas cascas? Dica: Determine a resistência de um elemento de superfície esférica de área 4 pi r^2 e espessura d r e integre para obter a resistência total. R: 3,71 times 10^9 Omega.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema sobre resistência elétrica entre duas cascas esféricas condutoras. A gente vai precisar saber um pouco sobre resistividade, geometria das esferas e como integrar para encontrar a resistência total. Basicamente, vamos calcular a resistência de um pouquinho da camada entre as duas esferas e depois somar tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a resistência R = rho LA de um material é dada por:
onde:
  • é a resistividade do material,
  • é o comprimento (ou espessura, no caso),
  • é a área pela qual a corrente passa.

Passo 3

Aqui, a corrente está passando radialmente de uma casca para a outra, então a “espessura” é um elemento que representa uma camada infinitesimal entre dois raios e .
A área dessa camada é a área de uma esfera com raio , que é .

Passo 4

Substituindo na fórmula de resistência para esse elemento:
dR = rho dr4pi r^2

Passo 5

Para encontrar a resistência total entre as duas casas, precisamos somar todas essas resistências infinitesimais de R = integral1,5,cm^5,cm rho dr4pi r^2 até . Isso é feito integrando :

Passo 6

Primeiro, vamos converter as medidas para metros para manter as unidades consistentes:
1,5,cm = 0,015,m 5,cm = 0,05,m

Passo 7

Agora, substituímos R = 10^94pi integral0,015^0,05 drr^2 na integral:

Passo 8

Resolvendo a integral:
integral drr^2 = -1r
Então,
R = 10^94pi ( -10,05 + 10,015 )

Passo 9

Calculando os valores dentro dos parênteses:
-10,05 + 10,015 = -20 + 1001,5 = -20 + 666 = 466

Passo 10

Multiplicando tudo:
R = 10^94pi times 466 approx 10^9 times 46,666712,5664 approx 3,71 times 10^9, Omega

Resposta

A resistência entre as duas cascas é aproximadamente .

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