O espaço entre duas cascas esféricas condutoras é preenchido por um material com uma resistividade de . Se a casca de dentro tem um raio de e a de fora tem um raio de 5 cm, qual é a resistência entre as duas cascas? Dica: Determine a resistência de um elemento de superfície esférica de área e espessura e integre para obter a resistência total. R: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema sobre resistência elétrica entre duas cascas esféricas condutoras. A gente vai precisar saber um pouco sobre resistividade, geometria das esferas e como integrar para encontrar a resistência total. Basicamente, vamos calcular a resistência de um pouquinho da camada entre as duas esferas e depois somar tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a resistência de um material é dada por: onde: - é a resistividade do material, - é o comprimento (ou espessura, no caso), - é a área pela qual a corrente passa.

Passo 3

Aqui, a corrente está passando radialmente de uma casca para a outra, então a "espessura" é um elemento que representa uma camada infinitesimal entre dois raios e . A área dessa camada é a área de uma esfera com raio , que é .

Passo 4

Substituindo na fórmula de resistência para esse elemento:

Passo 5

Para encontrar a resistência total entre as duas casas, precisamos somar todas essas resistências infinitesimais de até . Isso é feito integrando :

Passo 6

Primeiro, vamos converter as medidas para metros para manter as unidades consistentes:

Passo 7

Agora, substituímos na integral:

Passo 8

Resolvendo a integral: Então,

Passo 9

Calculando os valores dentro dos parênteses:

Passo 10

Multiplicando tudo:

Resposta

A resistência entre as duas cascas é aproximadamente .

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