O espaço entre duas cascas esféricas condutoras é preenchido por um material com uma resistividade de
. Se a casca de dentro tem um raio de
e a de fora tem um raio de 5 cm, qual é a resistência entre as duas cascas? Dica: Determine a resistência de um elemento de superfície esférica de área
e espessura
e integre para obter a resistência total. R:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema sobre resistência elétrica entre duas cascas esféricas condutoras. A gente vai precisar saber um pouco sobre resistividade, geometria das esferas e como integrar para encontrar a resistência total. Basicamente, vamos calcular a resistência de um pouquinho da camada entre as duas esferas e depois somar tudo isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a resistência
de um material é dada por:
onde:
-
é a resistividade do material, -
é o comprimento (ou espessura, no caso), -
é a área pela qual a corrente passa.
Passo 3
Aqui, a corrente está passando radialmente de uma casca para a outra, então a “espessura”
é um elemento
que representa uma camada infinitesimal entre dois raios
e
.
A área
dessa camada é a área de uma esfera com raio
, que é
.
Passo 4
Substituindo na fórmula de resistência para esse elemento:
Passo 5
Para encontrar a resistência total entre as duas casas, precisamos somar todas essas resistências infinitesimais de
até
. Isso é feito integrando
:
Passo 6
Primeiro, vamos converter as medidas para metros para manter as unidades consistentes:
Passo 7
Agora, substituímos
na integral:
Passo 8
Resolvendo a integral:
Então,
Passo 9
Calculando os valores dentro dos parênteses:
Passo 10
Multiplicando tudo:
Resposta
A resistência entre as duas cascas é aproximadamente
.