O espaço entre duas esferas concêntricas de raios a e b encontra-se preenchido com um dielétrico de densidade de carga uniforme,
. Determinar o potencial elétrico V , em função da distância r do centro das esferas, considerando as regiões: (d) essas soluções concordam em
e
?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas esferas que compartilham o mesmo centro (são concêntricas) com raios
e
. O espaço entre elas (
) está cheio de um material dielétrico que tem uma densidade de carga uniforme
. A pergunta é para determinar o potencial elétrico
em função da distância
do centro, e verificar se as soluções que encontramos se ajustam perfeitamente nos pontos
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como campo elétrico em meios dielétricos e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o campo elétrico
nesse espaço entre as esferas. Como temos uma densidade de carga uniforme, podemos usar a Lei de Gauss adaptada para dielétricos. A Lei de Gauss nos ajuda a relacionar o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss para uma esfera de raio
onde
, a carga total dentro dessa esfera é a densidade de carga
multiplicada pelo volume dessa região, que é
. Assim, a expressão para o campo elétrico fica:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora que temos
, podemos encontrar o potencial elétrico
integrando o campo elétrico. Sabemos que:
Substituindo
:
Vamos simplificar a integral:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Para encontrar a constante de integração
, precisamos aplicar condições de contorno. Sabemos que o potencial deve ser contínuo nas fronteiras
e
. Vamos igualar o potencial justo por dentro e por fora dessas esferas.
Assumindo que fora da esfera de raio
o potencial tende a zero quando
tende ao infinito, podemos determinar
ajustando a condição em
.
Após ajustar as constantes, concluiríamos que as soluções para
se ajustam perfeitamente nos pontos
e
, garantindo que não haja descontinuidades no potencial elétrico nesses pontos.
Resposta
Sim, as soluções para o potencial elétrico
se ajustam de forma contínua nos pontos
e
, garantindo que não haja descontinuidades nessas regiões.
Exercícios relacionados
Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por
e uma energia dada por
, em que
é um comprimento. (a) Determine a energia potencial em função de x e faça um gráfico de V em função de x.
Uma partícula de carga
é mantida em um ponto
fixo. Uma segunda partícula de massa
, possuindo a mesma carga livre
, está inicialmente em repouso a uma distância
de
. A segunda partícula é então solta, sendo repelida pela primeira. Despreze o atrito. Determinar: b) o módulo da velocidade da partícula neste instante supondo
,
.
O espaço entre duas esferas concêntricas de raios a e b encontra-se preenchido com um dielétrico de densidade de carga uniforme,
. Determinar o potencial elétrico V , em função da distância r do centro das esferas, considerando as regiões: ©
;
O espaço entre duas esferas concêntricas de raios a e b encontra-se preenchido com um dielétrico de densidade de carga uniforme,
. Determinar o potencial elétrico V , em função da distância r do centro das esferas, considerando as regiões: (b)
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