O espaço entre duas esferas concêntricas de raios a e b encontra-se preenchido com um dielétrico de densidade de carga uniforme, rho. Determinar o potencial elétrico V , em função da distância r do centro das esferas, considerando as regiões: (d) essas soluções concordam em r=a e r=b ?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas esferas que compartilham o mesmo centro (são concêntricas) com raios e . O espaço entre elas ( ) está cheio de um material dielétrico que tem uma densidade de carga uniforme . A pergunta é para determinar o potencial elétrico em função da distância do centro, e verificar se as soluções que encontramos se ajustam perfeitamente nos pontos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como campo elétrico em meios dielétricos e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o campo elétrico nesse espaço entre as esferas. Como temos uma densidade de carga uniforme, podemos usar a Lei de Gauss adaptada para dielétricos. A Lei de Gauss nos ajuda a relacionar o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície.

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss para uma esfera de raio E(r) cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi (r^3 - a^3)varepsilon0 onde E(r) = rho (r^3 - a^3)3 varepsilon0 r^2 , a carga total dentro dessa esfera é a densidade de carga multiplicada pelo volume dessa região, que é . Assim, a expressão para o campo elétrico fica:
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora que temos V(r) = -integral E(r) dr + C , podemos encontrar o potencial elétrico V(r) = -integral rho (r^3 - a^3)3 varepsilon0 r^2 dr + C integrando o campo elétrico. Sabemos que:
V(r) = -rho3 varepsilon0 integral ( r - a^3r^2 ) dr + C
Substituindo V(r) = -rho3 varepsilon0 ( r^22 + a^3r ) + C :
V(r) = -rho r^26 varepsilon0 - rho a^33 varepsilon0 r + C
Vamos simplificar a integral:
Integrando termo a termo:

Passo 5

Para encontrar a constante de integração , precisamos aplicar condições de contorno. Sabemos que o potencial deve ser contínuo nas fronteiras e . Vamos igualar o potencial justo por dentro e por fora dessas esferas.
Assumindo que fora da esfera de raio o potencial tende a zero quando tende ao infinito, podemos determinar ajustando a condição em .
Após ajustar as constantes, concluiríamos que as soluções para se ajustam perfeitamente nos pontos e , garantindo que não haja descontinuidades no potencial elétrico nesses pontos.

Resposta

Sim, as soluções para o potencial elétrico se ajustam de forma contínua nos pontos e , garantindo que não haja descontinuidades nessas regiões.

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