Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por
e uma energia dada por
, em que
é um comprimento. (a) Determine a energia potencial em função de x e faça um gráfico de V em função de x.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão! A gente tem uma partícula com uma função de onda
e uma energia
. O conteúdo aqui envolve a Equação de Schrödinger, que é fundamental na mecânica quântica para relacionar a função de onda com a energia e o potencial. Para resolver, vamos precisar calcular a segunda derivada da função de onda e usar a equação de Schrödinger para encontrar o potencial
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
Nossa missão é isolar
.
Passo 3
Vamos rearranjar a equação para resolver para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a segunda derivada de
. Vamos derivar duas vezes a função:
Primeira derivada de
:
Segunda derivada de
:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão para
:
Aqui, como
está nos denominadores e numeradores, ela cancela.
Passo 6
Simplificando a expressão:
Distribuindo
:
Perceba que os termos
se cancelam.
Passo 7
Então, sobra:
Essa é a expressão do potencial em função de
.
Passo 8
Para fazer o gráfico de
em função de
, observamos que é uma função quadrática:
onde
.
Isso representa uma parábola que abre para cima, passando pela origem. Conforme
aumenta ou diminui,
aumenta de forma quadrática.
Resposta
O potencial em função de
é dado por:
E o gráfico de
versus
é uma parábola que abre para cima, representando um potencial harmônico.