Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por psi(x)= A exp (-x^2 / 2 L^2) e uma energia dada por hbar^2 / 2 m L^2, em que L é um comprimento. (a) Determine a energia potencial em função de x e faça um gráfico de V em função de x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão! A gente tem uma partícula com uma função de onda e uma energia . O conteúdo aqui envolve a Equação de Schrödinger, que é fundamental na mecânica quântica para relacionar a função de onda com a energia e o potencial. Para resolver, vamos precisar calcular a segunda derivada da função de onda e usar a equação de Schrödinger para encontrar o potencial .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
-hbar^22m d^2psi(x)dx^2 + V(x)psi(x) = Epsi(x)
Nossa missão é isolar .

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para resolver para V(x)psi(x) = Epsi(x) + hbar^22m d^2psi(x)dx^2 :
V(x) = E + hbar^22m d^2psi(x)dx^2psi(x)
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Agora, precisamos calcular a segunda derivada de dpsi(x)dx = psi'(x) = A cdot (-xL^2) exp(-x^22 L^2) . Vamos derivar duas vezes a função:
Primeira derivada de d^2psi(x)dx^2 = psi''(x) = A cdot (x^2L^4 - 1L^2) exp(-x^22 L^2) :
Segunda derivada de :

Passo 5

Substituindo V(x) = E + hbar^22m cdot (x^2L^4 - 1L^21) e na expressão para :
Aqui, como está nos denominadores e numeradores, ela cancela.

Passo 6

Simplificando a expressão:
V(x) = hbar^22m L^2 + hbar^22m (x^2L^4 - 1L^2)
Distribuindo V(x) = hbar^22m L^2 + hbar^2 x^22m L^4 - hbar^22m L^2 :
Perceba que os termos se cancelam.

Passo 7

Então, sobra:
V(x) = hbar^2 x^22m L^4
Essa é a expressão do potencial em função de .

Passo 8

Para fazer o gráfico de V(x) = k x^2 em função de , observamos que é uma função quadrática:
onde .
Isso representa uma parábola que abre para cima, passando pela origem. Conforme aumenta ou diminui, aumenta de forma quadrática.

Resposta

O potencial em função de V(x) = hbar^2 x^22m L^4 é dado por:
E o gráfico de versus é uma parábola que abre para cima, representando um potencial harmônico.

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