O espaço entre duas esferas concêntricas de raios a e b encontra-se preenchido com um dielétrico de densidade de carga uniforme,
. Determinar o potencial elétrico V , em função da distância r do centro das esferas, considerando as regiões: (b)
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! O problema envolve encontrar o potencial elétrico
em função da distância
a partir do centro de duas esferas concêntricas com raios
e
, onde o espaço entre elas está preenchido com um dielétrico de densidade de carga uniforme
. Vamos focar na região onde
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e integrar a relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico
em situações de simetria. A Lei de Gauss é dada por:
onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
No nosso caso, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio
onde
. Queremos encontrar o campo elétrico
nessa região. A carga total
dentro dessa superfície é a carga no volume entre
e
:
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, para encontrar o potencial elétrico
, lembramos que o potencial é a integral do campo elétrico:
Escolhemos
onde o potencial é zero, então:
Passo 6
Vamos realizar a integração:
Integrando termo a termo:
Calculando os limites:
Resposta
Portanto, o potencial elétrico
na região
é dado por: