O espaço entre duas esferas concêntricas de raios a e b encontra-se preenchido com um dielétrico de densidade de carga uniforme, rho. Determinar o potencial elétrico V , em função da distância r do centro das esferas, considerando as regiões: (b) b>r>a;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! O problema envolve encontrar o potencial elétrico em função da distância a partir do centro de duas esferas concêntricas com raios e , onde o espaço entre elas está preenchido com um dielétrico de densidade de carga uniforme . Vamos focar na região onde . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e integrar a relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 em situações de simetria. A Lei de Gauss é dada por:
onde é a carga total dentro da superfície gaussiana e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

No nosso caso, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio Qenc = rho cdot Volume = rho cdot ( 43pi r^3 - 43pi a^3 ) = 43pi rho (r^3 - a^3) onde . Queremos encontrar o campo elétrico nessa região. A carga total dentro dessa superfície é a carga no volume entre e :

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss:
E(r) cdot 4pi r^2 = 43pi rho (r^3 - a^3) / varepsilon0
Resolvendo para E(r) = 43pi rho (r^3 - a^3) 4pi r^2 varepsilon0 = rho (r^3 - a^3) 3 varepsilon0 r^2 :
E(r) = rho (r - a^3r^2) 3 varepsilon0
Simplificando:

Passo 5

Agora, para encontrar o potencial elétrico V(r) = -integralr0^r E(r') dr' , lembramos que o potencial é a integral do campo elétrico:
V(r) = -integralb^r rho (r' - a^3r'^2) 3 varepsilon0 dr'
Escolhemos onde o potencial é zero, então:

Passo 6

Vamos realizar a integração:
V(r) = - rho 3 varepsilon0 integralb^r ( r' - a^3r'^2 ) dr'
Integrando termo a termo:
V(r) = - rho 3 varepsilon0 [ 12 r'^2 + a^3r' ]b^r
Calculando os limites:
V(r) = - rho 3 varepsilon0 ( 12 r^2 + a^3r - 12 b^2 - a^3b )

Resposta

Portanto, o potencial elétrico V(r) = - rho 3 varepsilon0 ( 12 r^2 + a^3r - 12 b^2 - a^3b ) na região é dado por:

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