O espaço entre duas esferas concêntricas de raios a e b encontra-se preenchido com um dielétrico de densidade de carga uniforme, . Determinar o potencial elétrico V , em função da distância r do centro das esferas, considerando as regiões: (b) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! O problema envolve encontrar o potencial elétrico em função da distância a partir do centro de duas esferas concêntricas com raios e , onde o espaço entre elas está preenchido com um dielétrico de densidade de carga uniforme . Vamos focar na região onde . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss e integrar a relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico em situações de simetria. A Lei de Gauss é dada por:
onde é a carga total dentro da superfície gaussiana e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

No nosso caso, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio onde . Queremos encontrar o campo elétrico nessa região. A carga total dentro dessa superfície é a carga no volume entre e :

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Simplificando:

Passo 5

Agora, para encontrar o potencial elétrico , lembramos que o potencial é a integral do campo elétrico:
Escolhemos onde o potencial é zero, então:

Passo 6

Vamos realizar a integração:
Integrando termo a termo:
Calculando os limites:

Resposta

Portanto, o potencial elétrico na região é dado por:

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