Uma partícula de carga Q é mantida em um ponto P fixo. Uma segunda partícula de massa m, possuindo a mesma carga livre Q, está inicialmente em repouso a uma distância r1 de P. A segunda partícula é então solta, sendo repelida pela primeira. Despreze o atrito. Determinar: b) o módulo da velocidade da partícula neste instante supondo Q=900 pC, m=3.0 times 10^-3 mg, r1=0.4 m, r2=1.0 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas partículas carregadas, ambas com carga Q. Uma delas está fixada no ponto P, e a outra, com massa m, está parada a uma distância r1 de P. Quando soltamos essa segunda partícula, ela é repelida pela primeira. Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade dessa partícula no instante em que ela está a uma distância r2 de P. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Lei de Coulomb e Conservação da Energia.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se as unidades estão em conformidade e converter tudo para o Sistema Internacional (SI) se necessário.
  • Carga elétrica: Q = 900, pC = 900 times 10^-12, C = 9 times 10^-10, C
  • Massa: m = 3.0 times 10^-3, mg = 3.0 times 10^-3 times 10^-3, kg = 3.0 times 10^-6, kg
  • Distâncias: r1 = 0.4, m e r2 = 1.0, m

Passo 3

Vamos aplicar a Lei da Conservação da Energia. A energia mecânica total inicial (quando a partícula está em repouso a r1) é igual à energia mecânica total final (quando a partícula está a r2 com certa velocidade v).
A energia potencial elétrica inicial é dada por:
Ui = k Q^2r1
E a energia potencial elétrica final é:
Uf = k Q^2r2
A energia cinética final é:
Kf = 12 m v^2
Pela conservação da energia:
Ui = Uf + Kf

Passo 4

Vamos isolar a velocidade v na equação acima:
k Q^2r1 = k Q^2r2 + 12 m v^2
Subtraindo k Q^2r2 de ambos os lados:
k Q^2r1 - k Q^2r2 = 12 m v^2
Fatorando k Q^2r1 r2:
k Q^2 ( 1r1 - 1r2 ) = 12 m v^2
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por m:
v^2 = 2 k Q^2m ( 1r1 - 1r2 )
Extraindo a raiz quadrada:
v = raiz 2 k Q^2m ( 1r1 - 1r2 )
Onde k é a constante de Coulomb, k = 8.988 times 10^9, N m^2/C^2.

Resposta

Substituindo os valores na equação:
v = raiz 2 times 8.988 times 10^9, N m^2/C^2 times (9 times 10^-10, C)^23.0 times 10^-6, kg ( 10.4, m - 11.0, m )
Calculando dentro da raiz:
v = raiz 2 times 8.988 times 10^9 times 81 times 10^-203.0 times 10^-6 ( 2.5 )
v = raiz 1.81704 times 10^-93.0 times 10^-6 times 2.5
v = raiz 6.0584 times 10^-4
v approx 0.0246, m/s
Portanto, o módulo da velocidade da partícula quando ela está a 1.0, m de P é aproximadamente 0,0246 metros por segundo.

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