O espaço entre duas esferas concêntricas de raios a e b encontra-se preenchido com um dielétrico de densidade de carga uniforme, rho. Determinar o potencial elétrico V , em função da distância r do centro das esferas, considerando as regiões: (a) r>b;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema: temos duas esferas que compartilham o mesmo centro (concêntricas) com raios e , onde . O espaço entre elas está cheio de um material dielétrico com densidade de carga uniforme . A gente precisa determinar o potencial elétrico em função da distância do centro das esferas, especificamente para a região onde .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, principalmente a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e depois integrar para achar o potencial. Vamos precisar entender como a carga distribuída em um dielétrico afeta o campo e o potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso significa que estamos olhando para um ponto fora das esferas, no espaço além da esfera de raio .

Passo 3

A gente sabe que o potencial elétrico em um ponto é relacionado ao campo elétrico por . Mas antes de conseguirmos , precisamos achar .

Passo 4

Para encontrar oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 nessa região ( ), usamos a Lei de Gauss. Vamos imaginar uma superfície gaussiana esférica com raio maior que . A Lei de Gauss nos diz que:
Onde é a carga total dentro da superfície gaussiana.

Passo 5

Vamos calcular Qenc = rho cdot Volume do dielétrico . Como o dielétrico tem densidade de carga uniforme Qenc = rho cdot 43pi (b^3 - a^3) e está entre e , a carga total dentro do raio é:
é
O volume entre duas esferas é dado por , então:

Passo 6

Agora, aplicando na Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi (b^3 - a^3)varepsilon0
Simplificando:
E = rho (b^3 - a^3)3 varepsilon0 r^2

Passo 7

Agora que temos o campo elétrico E = -dVdr , vamos integrar para achar o potencial dVdr = -E = -rho (b^3 - a^3)3 varepsilon0 r^2 . Sabemos que:
V(r) = integral -rho (b^3 - a^3)3 varepsilon0 r^2 dr = rho (b^3 - a^3)3 varepsilon0 r + C
Então:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Para determinar a constante , precisamos de uma condição de contorno. Geralmente, escolhemos para simplificar. Assim, quando , , indicando que .

Resposta

O potencial elétrico para V(r) = rho (b^3 - a^3)3 varepsilon0 r é:

Exercícios relacionados