O espaço entre duas esferas concêntricas de raios a e b encontra-se preenchido com um dielétrico de densidade de carga uniforme,
. Determinar o potencial elétrico V , em função da distância r do centro das esferas, considerando as regiões: (a)
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema: temos duas esferas que compartilham o mesmo centro (concêntricas) com raios
e
, onde
. O espaço entre elas está cheio de um material dielétrico com densidade de carga uniforme
. A gente precisa determinar o potencial elétrico
em função da distância
do centro das esferas, especificamente para a região onde
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, principalmente a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e depois integrar para achar o potencial. Vamos precisar entender como a carga distribuída em um dielétrico afeta o campo e o potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso significa que estamos olhando para um ponto fora das esferas, no espaço além da esfera de raio
.
Passo 3
A gente sabe que o potencial elétrico
em um ponto é relacionado ao campo elétrico
por
. Mas antes de conseguirmos
, precisamos achar
.
Passo 4
Para encontrar
nessa região (
), usamos a Lei de Gauss. Vamos imaginar uma superfície gaussiana esférica com raio
maior que
. A Lei de Gauss nos diz que:
Onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Passo 5
Vamos calcular
. Como o dielétrico tem densidade de carga uniforme
e está entre
e
, a carga total dentro do raio
é:
O volume entre duas esferas é dado por
, então:
Passo 6
Agora, aplicando na Lei de Gauss:
Simplificando:
Passo 7
Agora que temos o campo elétrico
, vamos integrar para achar o potencial
. Sabemos que:
Então:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Para determinar a constante
, precisamos de uma condição de contorno. Geralmente, escolhemos
para simplificar. Assim, quando
,
, indicando que
.
Resposta
O potencial elétrico para
é:
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O espaço entre duas esferas concêntricas de raios a e b encontra-se preenchido com um dielétrico de densidade de carga uniforme,
. Determinar o potencial elétrico V , em função da distância r do centro das esferas, considerando as regiões: (b)
;
O espaço entre duas esferas concêntricas de raios a e b encontra-se preenchido com um dielétrico de densidade de carga uniforme,
. Determinar o potencial elétrico V , em função da distância r do centro das esferas, considerando as regiões: ©
;
Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por
e uma energia dada por
, em que
é um comprimento. (f) A energia potencial de um oscilador harmônico simples é dada por
, na qual
é a frequência angular do oscilador. Compare este valor com o encontrado no item (a) e mostre que a energia total para esta função de onda pode ser escrita na forma
.
Uma partícula se encontra no estado fundamental de um poço quadrado infinito dado pela Equação 1. Calcule a probabilidade de que a partícula seja encontrada na região (b)