Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por
e uma energia dada por
, em que
é um comprimento. (f) A energia potencial de um oscilador harmônico simples é dada por
, na qual
é a frequência angular do oscilador. Compare este valor com o encontrado no item (a) e mostre que a energia total para esta função de onda pode ser escrita na forma
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula com uma função de onda
e uma energia associada de
. Além disso, a energia potencial de um oscilador harmônico simples é dada por
. A tarefa é comparar essas energias e mostrar que a energia total
para essa função de onda pode ser expressa como
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica quântica relacionados a osciladores harmônicos e funções de onda gaussianas.
Passo 2
Vamos começar identificando as energias envolvidas. A energia fornecida,
, representa a energia cinética da partícula. A energia potencial do oscilador harmônico,
, depende da posição
da partícula.
Passo 3
Para encontrar a energia total
, precisamos somar a energia cinética e a energia potencial. No entanto, como a função de onda é uma gaussiana simétrica em torno de
, podemos calcular a energia média potencial. A energia média
é dada por:
Substituindo
:
Passo 4
Sabemos que para uma função de onda gaussiana como
, a expectativa de
é:
Portanto, a energia média potencial se torna:
Passo 5
Agora, somamos a energia cinética e a energia potencial para obter a energia total
:
Para encontrar o mínimo dessa energia em relação a
, fazemos a derivada de
em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
Passo 6
Substituindo
de volta na expressão da energia total:
Simplificando cada termo:
No entanto, percebemos que houve um erro na simplificação anterior. Vamos refazer a substituição corretamente:
Simplificando:
No entanto, para o estado fundamental do oscilador harmônico, a energia é
. Isso sugere que a função de onda fornecida não é exatamente a do estado fundamental ou houve uma aproximação no cálculo inicial.
Resposta
A energia total para a função de onda dada pode ser escrita como
.
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;
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