Uma partícula se encontra no estado fundamental de um poço quadrado infinito dado pela Equação 1. Calcule a probabilidade de que a partícula seja encontrada na região (b) 0

Passo 1

Beleza, então o problema é sobre uma partícula que está no estado fundamental de um poço quadrado infinito. O que a gente precisa fazer é calcular a probabilidade de encontrar essa partícula na região onde . Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a função de onda e como calcular probabilidades a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a função de onda da partícula no estado fundamental de um poço quadrado infinito. A função é dada por:
psi1(x) = raiz2L sin(pi xL)
Essa função descreve a probabilidade de encontrar a partícula em um ponto específico dentro do poço.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de a partícula estar na região P = integral0^L3 |psi1(x)|^2 , dx , precisamos integrar o quadrado da função de onda nessa faixa. Ou seja, a probabilidade é:

Passo 4

Vamos calcular o quadrado da função de onda:
|psi1(x)|^2 = (raiz2L sin(pi xL))^2 = 2L sin^2(pi xL)
Agora, substituindo na integral:
P = 2L integral0^L3 sin^2(pi xL) , dx
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2
Aplicando isso:
P = 2L cdot 12 integral0^L3 (1 - cos(2pi xL)) , dx = 1L [ x - L2pi sin(2pi xL) ]0^L3

Passo 5

Agora, avaliamos os limites da integral:
P = 1L ( L3 - L2pi sin(2pi cdot L3L) - (0 - L2pi sin(0)) )
Simplificando:
P = 13 - 12pi sin(2pi3)
Sabemos que P = 13 - 12pi cdot raiz32 = 13 - raiz34pi , então:

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula na região P = 13 - raiz34pi approx 0,25 (ou 25%) é:

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