Uma partícula se encontra no estado fundamental de um poço quadrado infinito dado pela Equação 1. Calcule a probabilidade de que a partícula seja encontrada na região (b)

Passo 1

Beleza, então o problema é sobre uma partícula que está no estado fundamental de um poço quadrado infinito. O que a gente precisa fazer é calcular a probabilidade de encontrar essa partícula na região onde . Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente a função de onda e como calcular probabilidades a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a função de onda da partícula no estado fundamental de um poço quadrado infinito. A função é dada por:
Essa função descreve a probabilidade de encontrar a partícula em um ponto específico dentro do poço.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de a partícula estar na região , precisamos integrar o quadrado da função de onda nessa faixa. Ou seja, a probabilidade é:

Passo 4

Vamos calcular o quadrado da função de onda:
Agora, substituindo na integral:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:

Passo 5

Agora, avaliamos os limites da integral:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula na região é:

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Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por e uma energia dada por , em que é um comprimento. (f) A energia potencial de um oscilador harmônico simples é dada por , na qual é a frequência angular do oscilador. Compare este valor com o encontrado no item (a) e mostre que a energia total para esta função de onda pode ser escrita na forma .
O espaço entre duas esferas concêntricas de raios a e b encontra-se preenchido com um dielétrico de densidade de carga uniforme, . Determinar o potencial elétrico V , em função da distância r do centro das esferas, considerando as regiões: (a) ;
Uma partícula se encontra no estado fundamental de um poço quadrado infinito dado pela Equação 1. Calcule a probabilidade de que a partícula seja encontrada na região © .
Use a lei de Planck para mostrar que a densidade total de energia de um corpo negro é proporcional , o que está de acordo com a lei de Stefan-Boltzmann:
Em outras palavras, mostre que
Onde é uma constante. Dica: utilize o resultado da integral imprópria: