pode ser gerado por apenas 2 vetores. Encontre esses 2 vetores.
Dicas:
Coloque os vetores dados nas linhas de uma matriz .
Encontre a forma escada dessa matriz .
As linhas não nulas da forma escada de são os vetores procurados.
Você deve inserir as linhas não nulas da forma escada de nos campos de resposta na mesma ordem em que elas aparecerem.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional: , e . A ideia é mostrar que esses três vetores podem ser gerados usando apenas dois deles. Para isso, vamos usar álgebra linear, especificamente o conceito de forma escalonada de uma matriz, que nos ajuda a identificar vetores independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores , e como linhas de uma matriz . Isso facilita a aplicação de operações para simplificar a matriz.
Passo 3
Agora, nosso objetivo é transformar a matriz 1 & 2.5 & -2 2 & 11 & -7 -2 & -11 & 7 na forma escalonada por linhas. Isso significa que queremos ter zeros abaixo dos primeiros elementos de cada linha, facilitando a identificação dos vetores independentes.
Primeiro, vou multiplicar a primeira linha por para simplificar:
Passo 4
Em seguida, vou eliminar os elementos abaixo do primeiro 1. Para isso, vou subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha e adicionar 2 vezes a primeira linha à terceira linha:
1 & 2.5 & -2 0 & 6 & -3 0 & -6 & 3
Passo 5
Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por 6:
1 & 2.5 & -2 0 & 1 & -0.5 0 & -6 & 3
Passo 6
Por último, vamos eliminar o elemento abaixo do 1 na segunda coluna. Vou somar 6 vezes a segunda linha à terceira linha:
1 & 2.5 & -2 0 & 1 & -0.5 0 & 0 & 0
Resposta
Os vetores não nulos da forma escalonada são:
1 & 2.5 & -2 0 & 1 & -0.5
Convertendo de volta para vetores, os dois vetores que geram o mesmo espaço são e .