O espaço [v1, v2, v3] gerado pelos vetores
v1=(-4,-10,8), v2=(2,11,-7) e v3=(-2,-11,7)
pode ser gerado por apenas 2 vetores. Encontre esses 2 vetores.
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Dicas:
  1. Coloque os vetores dados nas linhas de uma matriz A.
  2. Encontre a forma escada dessa matriz A.
  3. As linhas não nulas da forma escada de A são os vetores procurados.
  4. Você deve inserir as linhas não nulas da forma escada de A nos campos de resposta na mesma ordem em que elas aparecerem.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional: , e . A ideia é mostrar que esses três vetores podem ser gerados usando apenas dois deles. Para isso, vamos usar álgebra linear, especificamente o conceito de forma escalonada de uma matriz, que nos ajuda a identificar vetores independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores A = -4 & -10 & 8 2 & 11 & -7 -2 & -11 & 7 , e como linhas de uma matriz . Isso facilita a aplicação de operações para simplificar a matriz.

Passo 3

Agora, nosso objetivo é transformar a matriz 1 & 2.5 & -2 2 & 11 & -7 -2 & -11 & 7 na forma escalonada por linhas. Isso significa que queremos ter zeros abaixo dos primeiros elementos de cada linha, facilitando a identificação dos vetores independentes.
Primeiro, vou multiplicar a primeira linha por para simplificar:

Passo 4

Em seguida, vou eliminar os elementos abaixo do primeiro 1. Para isso, vou subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha e adicionar 2 vezes a primeira linha à terceira linha:
1 & 2.5 & -2 0 & 6 & -3 0 & -6 & 3

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por 6:
1 & 2.5 & -2 0 & 1 & -0.5 0 & -6 & 3

Passo 6

Por último, vamos eliminar o elemento abaixo do 1 na segunda coluna. Vou somar 6 vezes a segunda linha à terceira linha:
1 & 2.5 & -2 0 & 1 & -0.5 0 & 0 & 0

Resposta

Os vetores não nulos da forma escalonada são:
1 & 2.5 & -2 0 & 1 & -0.5
Convertendo de volta para vetores, os dois vetores que geram o mesmo espaço são e .

Exercícios relacionados

Seja A e B em \mathbb{R}^{3}. Determine:
(a) O vetor A+B.
Suponha alpha e beta ciclos disjuntos de Sn, digamos alpha=(a1 a2 a3 ldots as) e beta=(b1 b2 b3 ldots bt) com ai neq bj, para todo i e j.
Calcule (alpha circ beta)(bk) e (beta circ alpha)(bk), prara todo 1 <= k <= t.
Calcule u cdot v sabendo que:
u e v são vetores unitários e a medida do ângulo entre eles é pi3 rad;
Verifique se u, v é LI ou LD, nos seguintes casos:
u=(0,1,1), v=(0,3,1).