Verifique se u, v é LI ou LD, nos seguintes casos:
u=(0,1,1), v=(0,3,1).

Passo 1

Então, a gente precisa verificar se o conjunto de vetores u, v é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Estamos trabalhando com vetores no espaço tridimensional, ou seja, no R^3. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e ver se um dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser Linearmente Independente. Um conjunto de vetores é LI se a única solução para a equação au + bv = 0 for a = 0 e b = 0. Se existir alguma solução diferente disso, o conjunto é LD.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
u = (0, 1, 1)
v = (0, 3, 1)
Queremos encontrar se existem escalares a e b tais que:
a(0, 1, 1) + b(0, 3, 1) = (0, 0, 0)

Passo 4

Vamos escrever isso componente por componente:
  • Na primeira componente: 0a + 0b = 0
  • Na segunda componente: 1a + 3b = 0
  • Na terceira componente: 1a + 1b = 0

Passo 5

Da primeira equação, não aprendemos nada novo, pois 0 = 0 é sempre verdadeiro. Então, vamos focar nas outras duas:
  1. a + 3b = 0
  2. a + b = 0

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Subtraindo a segunda equação da primeira:
(a + 3b) - (a + b) = 0 - 0
a + 3b - a - b = 0
2b = 0
b = 0

Passo 7

Agora que sabemos que b = 0, substituímos na segunda equação:
a + 0 = 0
a = 0

Passo 8

Encontramos que a = 0 e b = 0 são as únicas soluções para a equação au + bv = 0. Isso significa que não existe uma combinação não trivial dos vetores que resulte no vetor nulo.

Resposta

O conjunto u, v é Linearmente Independente (LI).

Exercícios relacionados

Calcule u cdot v sabendo que:
u e v são vetores unitários e a medida do ângulo entre eles é pi3 rad;
O espaço [v1, v2, v3] gerado pelos vetores
v1=(-4,-10,8), v2=(2,11,-7) e v3=(-2,-11,7)
pode ser gerado por apenas 2 vetores. Encontre esses 2 vetores.
square
square
square
square
square
square
Dicas:
  1. Coloque os vetores dados nas linhas de uma matriz A.
  2. Encontre a forma escada dessa matriz A.
  3. As linhas não nulas da forma escada de A são os vetores procurados.
  4. Você deve inserir as linhas não nulas da forma escada de A nos campos de resposta na mesma ordem em que elas aparecerem.
u=a1 v1+a2 v2
ou:
(-1, k,-7)=a1(1,-3,2)+a2(2,4,-1)
Algebra linear
de onde vem o sistema:
a1+2 a2 & =-1 -3 a1+4 a2 & =k 2 a1-a2 & =-7
do qual resulta, como solução do problema proposto, k=13(a1=-3 e a2=1).
De fato:
l (-1,13,-7)=-3(1,-3,2)+1(2,4,-1) (-1,13,-7)=(-3,9,-6)+(2,4,-1) (-1,13,-7)=(-1,13,-7)
Tendo em conta os exercícios 23 e 32, mostre que as colunas de uma matriz A com m linhas constituem uma base de R^m se e só se A é uma matriz invertível.