Especifique o dominio da funçāo: , sendo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para especificar o domínio da função:
onde a função é definida por:
Aqui, estamos lidando com um limite que envolve uma função definida por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e analisar onde a expressão dentro do limite está bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é domínio de uma função. Basicamente, o domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
No caso da nossa função dentro do limite:
a função está definida para todos os valores de onde o denominador não é zero, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos verificar a função nas diferentes partes. Para , temos , e para , temos .
Queremos saber para quais valores de a expressão está definida.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular . Como está na segunda parte da função ( ), temos:
Então, a expressão dentro do limite fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar as duas situações:
  1. Quando :
    Aqui, . Substituindo na expressão:
    Essa expressão está definida para .
  2. Quando :
    Aqui, . Substituindo na expressão:

Passo 6

Então, em ambas as situações ( e ), a expressão está definida para todos os exceto em , onde ocorre uma divisão por zero.

Passo 7

Portanto, o domínio da função dentro do limite é todos os números reais exceto .

Resposta

O domínio da função é todos os números reais tais que .

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Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique: , sendo
“Sem a matemática, não poderia haver astronomia; sem os recursos maravilhosos da astronomia, seria completamente impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade.” (Amoroso Costa)
Calcule o limite, caso exista. Se nāo existir, justifique:
Decida se existe algum ponto onde a função NĀO é contínua, justifique: