Especifique o dominio da funçāo:
, sendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para especificar o domínio da função:
onde a função
é definida por:
Aqui, estamos lidando com um limite que envolve uma função definida por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e analisar onde a expressão dentro do limite está bem definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é domínio de uma função. Basicamente, o domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
No caso da nossa função dentro do limite:
a função está definida para todos os valores de
onde o denominador
não é zero, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a função
nas diferentes partes. Para
, temos
, e para
, temos
.
Queremos saber para quais valores de
a expressão
está definida.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular
. Como
está na segunda parte da função (
), temos:
Então, a expressão dentro do limite fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar as duas situações:
-
Quando
: Aqui,. Substituindo na expressão: Essa expressão está definida para. -
Quando
: Aqui,. Substituindo na expressão:
Passo 6
Então, em ambas as situações (
e
), a expressão
está definida para todos os
exceto em
, onde ocorre uma divisão por zero.
Passo 7
Portanto, o domínio da função dentro do limite é todos os números reais exceto
.
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais
tais que
.
Exercícios relacionados
Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique:
, sendo
“Sem a matemática, não poderia haver astronomia; sem os recursos maravilhosos da astronomia, seria completamente impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade.” (Amoroso Costa)
Calcule o limite, caso exista. Se nāo existir, justifique:
Decida se existe algum ponto onde a função NĀO é contínua, justifique: