Especifique o dominio da funçāo: lim x 1 f(x)-f(1)x-1, sendo f(x)=l2 x, se x<1 x+3, se x >= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para especificar o domínio da função:
limx 1 f(x) - f(1)x - 1,
onde a função f(x) = 2x, & se x < 1 x + 3, & se x >= 1 é definida por:
Aqui, estamos lidando com um limite que envolve uma função definida por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e analisar onde a expressão dentro do limite está bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é domínio de uma função. Basicamente, o domínio é o conjunto de todos os valores de f(x) - f(1)x - 1, para os quais a função está definida.
No caso da nossa função dentro do limite:
a função está definida para todos os valores de onde o denominador não é zero, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos verificar a função nas diferentes partes. Para , temos , e para , temos .
Queremos saber para quais valores de a expressão está definida.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular f(1) = 1 + 3 = 4 . Como f(x) - 4x - 1 está na segunda parte da função ( ), temos:
Então, a expressão dentro do limite fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar as duas situações:
  1. Quando 2x - 4x - 1 = 2(x - 2)x - 1 :
    Aqui, (x + 3) - 4x - 1 = x - 1x - 1 = 1, para x neq 1 . Substituindo na expressão:
    Essa expressão está definida para .
  2. Quando :
    Aqui, . Substituindo na expressão:

Passo 6

Então, em ambas as situações ( e ), a expressão está definida para todos os exceto em , onde ocorre uma divisão por zero.

Passo 7

Portanto, o domínio da função dentro do limite é todos os números reais exceto .

Resposta

O domínio da função é todos os números reais tais que .

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