No espectro do átomo de hidrogênio observa-se uma emissão em 410,2 nm. Determine os níveis de energia inicial e final da emissão de energia que corresponde a essa linha espectral. Qual a energia e a cor da radiação emitida nesta transição eletrônica?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o espectro do átomo de hidrogênio. A gente precisa descobrir quais são os níveis de energia inicial e final quando ocorre a emissão de uma luz com comprimento de onda 410,2 nm. Para isso, vamos usar conceitos de física quântica relacionados aos níveis de energia do átomo de hidrogênio e fórmulas que ligam energia e comprimento de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia da radiação emitida usando a fórmula:
Onde:
- $ h $ é a constante de Planck ($ 6,626 \times 10^{-34} , J·s $)
- $ c $ é a velocidade da luz ($ 3,00 \times 10^{8} , m/s $)
- $ \lambda $ é o comprimento de onda da radiação ($ 410,2 , nm $, que é $ 410,2 \times 10^{-9} , m $)
Vamos calcular:
Para ficar mais fácil de interpretar, vamos converter essa energia para elétron-volts (eV), usando $ 1 , eV = 1,602 \times 10^{-19} , J $:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula dos níveis de energia do átomo de hidrogênio:
Onde $ n $ é o número quântico principal do nível de energia.
A energia emitida $ \Delta E $ é a diferença entre os níveis inicial $ n_i $ e final $ n_f $:
Passo 4
Precisamos encontrar quais valores de $ n_i $ e $ n_f $ satisfazem essa diferença de energia. Sabemos que $ n_f = n_i - m $, onde $ m $ é a quantidade de saltos entre os níveis.
Vamos tentar valores inteiros para $ n_i $ e $ n_f $ que resultem em $ \Delta E \approx 3,03 , eV $.
Por exemplo, se $ n_f = 2 $:
Queremos $ \Delta E = 3,03 , eV $:
Agora, vamos encontrar $ n_i $ correspondente a $ E_{n_i} = -0,37 , eV $:
Arredondando, $ n_i = 6 $.
Então, os níveis de energia são $ n_i = 6 $ e $ n_f = 2 $.
Passo 5
Finalmente, vamos determinar a cor da radiação emitida. Sabemos que:
- 400 nm: violeta
- 450 nm: azul
- 500 nm: verde
- 600 nm: laranja
- 700 nm: vermelho
Como o comprimento de onda é 410,2 nm, está na faixa do violeta.
Resposta
Os níveis de energia inicial e final são $ n_i = 6 $ e $ n_f = 2 $. A energia da radiação emitida é aproximadamente $ 3,03 , eV $ e a cor correspondente é violeta.