Um espelho côncavo tem uma distância focal de 12 cm . A imagem de um objeto colocado diante do espelho é real e tem metade do tamanho do objeto. Qual é a distância do objeto ao espelho?
A) 12 cm
B) 24 cm
C) 36 cm
D) 18 cm

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com espelhos côncavos, que fazem parte da óptica, um ramo da física. O problema nos dá a distância focal do espelho e informações sobre a imagem formada. Vamos precisar usar a fórmula dos espelhos e entender como a ampliação funciona para encontrar a distância do objeto ao espelho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula dos espelhos côncavos. Ela relaciona a distância focal $ f $, a distância da imagem $ v $ e a distância do objeto $ u $:
f
Essa fórmula nos ajuda a encontrar uma dessas distâncias se conhecermos as outras duas.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a ampliação (ou magnificação) da imagem, que é a relação entre o tamanho da imagem e o tamanho do objeto. A fórmula da ampliação $ m $ é:
m
Aqui, $ h_i $ é a altura da imagem e $ h_o $ é a altura do objeto. O sinal negativo indica que a imagem é invertida, o que acontece quando a imagem é real.

Passo 4

No nosso exercício, a imagem é real e tem metade do tamanho do objeto. Isso significa que a ampliação $ m $ é igual a -½:
m
Podemos usar essa informação para relacionar $ v $ e $ u $. Da fórmula da ampliação:
m = -12
Então, a distância da imagem $ v $ é metade da distância do objeto $ u $.

Passo 5

Agora que sabemos que $ v = \frac{u}{2} $, podemos substituir isso na fórmula dos espelhos:
v = u2
Simplificando a expressão:
1f = 1v + 1u implies 112 = 1u2 + 1u

Passo 6

Agora, vamos resolver para encontrar $ u $:
u

Resposta

A distância do objeto ao espelho é 36 cm. Portanto, a resposta correta é a opção C) 36 cm.

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