Para um espelho esférico convexo que possui uma distâncla focal
, a qual distância do vértice do espelho um objeto estará se a altura da imagem for real e tiver a metade da altura do objeto?
Passo 1
Vamos entender o problema: temos um espelho esférico convexo com uma distância focal de
. Queremos descobrir a distância do objeto ao vértice do espelho quando a altura da imagem é real e metade da altura do objeto. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas relacionadas a espelhos esféricos, especificamente a equação dos espelhos e a fórmula de ampliação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação dos espelhos esféricos:
Onde:
-
é a distância focal. -
é a distância do objeto ao vértice do espelho. -
é a distância da imagem ao vértice do espelho.
Passo 3
Também precisamos da fórmula de ampliação:
Onde:
-
é a ampliação. -
é a altura da imagem. -
é a altura do objeto. - A relação
nos ajuda a conectar as distâncias com as alturas.
Passo 4
Segundo o enunciado, a altura da imagem é metade da altura do objeto, ou seja:
Portanto, a ampliação
é:
Passo 5
Usando a fórmula de ampliação
, substituímos:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação dos espelhos:
Passo 7
Sabemos que
. Substituindo na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
A distância do objeto ao vértice do espelho é de 12,0 cm.