Para um espelho esférico convexo que possui uma distâncla focal f=-12,0 cm, a qual distância do vértice do espelho um objeto estará se a altura da imagem for real e tiver a metade da altura do objeto?

Passo 1

Vamos entender o problema: temos um espelho esférico convexo com uma distância focal de . Queremos descobrir a distância do objeto ao vértice do espelho quando a altura da imagem é real e metade da altura do objeto. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas relacionadas a espelhos esféricos, especificamente a equação dos espelhos e a fórmula de ampliação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação dos espelhos esféricos:
1f = 1p + 1q
Onde:
  • é a distância focal.
  • é a distância do objeto ao vértice do espelho.
  • é a distância da imagem ao vértice do espelho.

Passo 3

Também precisamos da fórmula de ampliação:
m = hiho = -qp
Onde:
  • é a ampliação.
  • é a altura da imagem.
  • é a altura do objeto.
  • A relação nos ajuda a conectar as distâncias com as alturas.

Passo 4

Segundo o enunciado, a altura da imagem é metade da altura do objeto, ou seja:
hiho = 12
Portanto, a ampliação m = 12 é:

Passo 5

Usando a fórmula de ampliação 12 = -qp , substituímos:
q = -p2
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, substituímos 1f = 1p + 1q = 1p + 1-p2 = 1p - 2p = -1p na equação dos espelhos:

Passo 7

Sabemos que 1-12 = -1p . Substituindo na equação:
-1-12 = 1p implies 112 = 1p
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Resolvendo para p = 12,0 , cm :

Resposta

A distância do objeto ao vértice do espelho é de 12,0 cm.

Exercícios relacionados