Para um espelho esférico convexo que possui uma distâncla focal , a qual distância do vértice do espelho um objeto estará se a altura da imagem for real e tiver a metade da altura do objeto?

Passo 1

Vamos entender o problema: temos um espelho esférico convexo com uma distância focal de . Queremos descobrir a distância do objeto ao vértice do espelho quando a altura da imagem é real e metade da altura do objeto. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas relacionadas a espelhos esféricos, especificamente a equação dos espelhos e a fórmula de ampliação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação dos espelhos esféricos:
Onde:
  • é a distância focal.
  • é a distância do objeto ao vértice do espelho.
  • é a distância da imagem ao vértice do espelho.

Passo 3

Também precisamos da fórmula de ampliação:
Onde:
  • é a ampliação.
  • é a altura da imagem.
  • é a altura do objeto.
  • A relação nos ajuda a conectar as distâncias com as alturas.

Passo 4

Segundo o enunciado, a altura da imagem é metade da altura do objeto, ou seja:
Portanto, a ampliação é:

Passo 5

Usando a fórmula de ampliação , substituímos:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, substituímos na equação dos espelhos:

Passo 7

Sabemos que . Substituindo na equação:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Resolvendo para :

Resposta

A distância do objeto ao vértice do espelho é de 12,0 cm.

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