Uma espira circular de raio a tem no seu centro uma outra espira circular de raio b ll a. Os planos das duas espiras formam entre si um ângulo theta. Calcule a indutância mútua entre elas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de indução mútua! O enunciado fala sobre duas espiras circulares: uma maior de raio a e outra menor de raio b, onde b é bem bem menor que a ( b ll a). As duas espiras estão centralizadas uma na outra, mas os planos das espiras formam um ângulo theta. Nosso objetivo aqui é calcular a indutância mútua entre elas. Para isso, vamos usar conceitos de magnetismo e indução eletromagnética, especificamente a fórmula da indutância mútua entre duas espiras circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é indutância mútua. Ela mede como a corrente em uma espira afeta a tensão elétrica na outra. A fórmula geral para a indutância mútua M entre duas espiras circulares é dada por:
M = mu04pi cdot 2pi a b^2 sintheta(a^2)^3/2
Aqui, mu0 é a permeabilidade do vácuo, a é o raio da espira maior, b é o raio da espira menor e theta é o ângulo entre os planos das espiras.

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que b ll a, então podemos considerar (a^2)^3/2 = a^3. Substituindo isso na fórmula, temos:
M = mu04pi cdot 2pi a b^2 sinthetaa^3
Agora, simplificamos os termos:
M = mu04pi cdot 2pi b^2 sinthetaa^2
As pi se cancelam:
M = mu04 cdot 2 b^2 sinthetaa^2
E simplificando mais:
M = mu0 b^2 sintheta2 a^2

Passo 4

Então, a indutância mútua entre as duas espiras é dada por:
M = mu0 b^2 sintheta2 a^2
Onde:
  • mu0 = 4pi times 10^-7 T·m/A (permeabilidade do vácuo)
  • a = raio da espira maior
  • b = raio da espira menor
  • theta = ângulo entre os planos das espiras

Resposta

A indutância mútua entre as duas espiras é:
M = mu0 b^2 sintheta2 a^2

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