Utilize a lei de Gauss para calcular o campo e o potencial elétrico gerados por uma casca esférica de raio externo
e raio interno
e com uma densidade constante de cargas elétricas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica com raio interno $ b $ e raio externo $ a $, e ela tem uma densidade de carga elétrica constante. A gente vai usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico e o potencial elétrico gerados por essa casca. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em diferentes regiões espaciais em torno da casca.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ($ \varepsilon_0 $). A fórmula é:
Vamos usar essa lei para encontrar o campo elétrico em três regiões:
- Dentro do raio interno ($ r < b $)
- Entre o raio interno e externo ($ b < r < a $)
- Fora do raio externo ($ r > a $)
Passo 3
Vamos começar calculando a carga total da casca. Como a densidade de carga é constante, a carga total $ Q $ é a densidade multiplicada pelo volume da casca:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Lei de Gauss para cada região.
1. Região $ r < b $:
Dentro do raio interno, não há carga (porque a casca começa em $ b $). Então, $ Q_{interno} = 0 $. Pela Lei de Gauss:
Dentro do raio interno, não há carga (porque a casca começa em $ b $). Então, $ Q_{interno} = 0 $. Pela Lei de Gauss:
Então, o campo elétrico é zero nessa região.
2. Região $ b < r < a $:
Aqui, apenas a parte da casca interna está dentro do nosso “Gaussiano”. A carga interna $ Q_{interno} $ é a carga contida até o raio $ r $:
Aqui, apenas a parte da casca interna está dentro do nosso “Gaussiano”. A carga interna $ Q_{interno} $ é a carga contida até o raio $ r $:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para $ E $:
3. Região $ r > a $:
Fora do raio externo, toda a carga da casca está dentro do Gaussian surface. Então:
Fora do raio externo, toda a carga da casca está dentro do Gaussian surface. Então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para $ E $:
Passo 5
Agora, vamos calcular o potencial elétrico $ V $. Sabemos que o potencial é a integral do campo elétrico:
Vamos assumir que o potencial tende a zero quando $ r $ vai para o infinito ($ V(\infty) = 0 $).
1. Região $ r > a $:
Já sabemos que $ E = \frac{\rho (a^3 - b^3)}{3 \varepsilon_0 r^2} $. Integrando:
Já sabemos que $ E = \frac{\rho (a^3 - b^3)}{3 \varepsilon_0 r^2} $. Integrando:
Como $ V(\infty) = 0 $, $ C = 0 $:
2. Região $ b < r < a $:
Aqui, $ E = \frac{\rho r}{3 \varepsilon_0} - \frac{\rho b^3}{3 \varepsilon_0 r^2} $. Integrando:
Aqui, $ E = \frac{\rho r}{3 \varepsilon_0} - \frac{\rho b^3}{3 \varepsilon_0 r^2} $. Integrando:
Integrando termo a termo:
Para determinar $ C $, igualamos com o potencial na fronteira $ r = a $:
Resolvendo para $ C $:
Simplificando, encontramos a expressão final para $ V® $ em $ b < r < a $.
3. Região $ r < b $:
Dentro da casca interna, $ E = 0 $, então o potencial é constante. Esse valor é igual ao potencial na fronteira $ r = b $:
Dentro da casca interna, $ E = 0 $, então o potencial é constante. Esse valor é igual ao potencial na fronteira $ r = b $:
Resposta
O campo elétrico $ E® $ e o potencial elétrico $ V® $ gerados pela casca esférica são: