Considere uma coleção de cargas elétricas uniformemente distribuídas sobre um fio de comprimento
localizado sobre o eixo
. Determine o potencial e o campo elétrico gerados em pontos situados sobre o eixo z .
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o potencial elétrico e o campo elétrico gerados por uma coleção de cargas elétricas que estão uniformemente distribuídas ao longo de um fio de comprimento $ l $ posicionado sobre o eixo $ z $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente o cálculo do potencial elétrico e do campo elétrico gerados por uma distribuição contínua de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o fio tem uma distribuição uniforme de carga elétrica. Isso significa que a carga está espalhada de maneira igual ao longo de todo o comprimento do fio. A densidade linear de carga, que chamamos de $ \lambda $, representa a carga por unidade de comprimento do fio. Então, se temos uma carga total $ Q $ distribuída ao longo de um comprimento $ l $, a densidade linear de carga é:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o potencial elétrico $ V $ em um ponto localizado sobre o eixo $ z $, por exemplo, no ponto $ z’ $. Para isso, vamos considerar um pequeno elemento de comprimento $ dz $ no fio, localizado em uma posição $ z $ ao longo do eixo. A carga nesse pequeno elemento é $ dq = \lambda , dz $.
Passo 4
O potencial elétrico gerado por essa pequena carga $ dq $ no ponto $ z’ $ é dado pela fórmula:
onde $ r $ é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial. Como ambos estão sobre o eixo $ z $, essa distância é simplesmente $ |z’ - z| $.
Passo 5
Substituindo $ dq $ e $ r $ na expressão do potencial, temos:
Para encontrar o potencial total $ V $, precisamos integrar essa expressão ao longo de todo o comprimento do fio, ou seja, de $ z = 0 $ a $ z = l $:
Passo 6
Vamos resolver essa integral. Como estamos considerando pontos sobre o eixo $ z $ e assumindo que $ z’ $ está também no eixo, podemos simplificar a expressão da distância $ |z’ - z| $ para $ |z’ - z| = z’ - z $ se $ z’ > z $ ou $ z - z’ $ se $ z’ < z $. Para simplificar, vamos assumir $ z’ > z $:
Fazendo a substituição $ u = z’ - z $, $ du = -dz $, os limites de integração mudam para $ u = z’ $ quando $ z = 0 $ e $ u = z’ - l $ quando $ z = l $:
Passo 7
Agora que temos o potencial elétrico $ V $, podemos encontrar o campo elétrico $ E $ relacionado a ele. O campo elétrico é a derivada negativa do potencial em relação à posição:
Vamos derivar a expressão que encontramos para $ V $:
Simplificando:
Resposta
O potencial elétrico gerado pelo fio no ponto $ z’ $ é:
E o campo elétrico correspondente é: