Uma espira quadrada de 20 cm de lado e resistência R=1 Omega está contida no plano x y com os seus lados paralelos aos eixos coordenados. Em t=0, o centro da espira está na origem do sistema de coordenadas, e nesse instante a espira passa a se movimentar com velocidade constante de 1,4 m / s na direção y. O campo magnético na região é dado por B=0,3 y z T. Calcule o fluxo magnético na espira e o valor da força eletromotriz induzida em t=5,0 s. Em seguida, determine em t=5,0 s a força magnética resultante na espira devido a corrente induzida e ao campo externo e determine a sua direção.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema pede. Temos uma espira quadrada de lado 20 cm (ou 0,2 metros) e resistência de 1 Ω que está no plano xy, com os lados alinhados aos eixos. No instante inicial (t=0), o centro da espira está na origem e começa a se mover na direção y com velocidade constante de 1,4 m/s. O campo magnético na região é dado por T. Precisamos calcular, em s:
  1. O fluxo magnético na espira.
  2. A força eletromotriz induzida.
  3. A força magnética resultante na espira devido à corrente induzida e ao campo externo, além da direção dessa força.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a espira está se movendo e como isso afeta o campo magnético que ela experimenta. A espira está se deslocando na direção y com velocidade constante y = v cdot t = 1,4 , m/s times 5,0 , s = 7,0 , m . Isso significa que, após 5 segundos, a posição y do centro da espira será:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo magnético ( Phi = integral B cdot A ) através da espira. O fluxo magnético é dado por:
Phi = B cdot A
Como a espira está no plano xy e A = (0,2 , m)^2 = 0,04 , m^2 está na direção z, o ângulo entre B = 0,3 times 7,0 = 2,1 , T e Phi = 2,1 , T times 0,04 , m^2 = 0,084 , Wb é 0 graus (pois também está na direção z para superfícies no plano xy). Portanto:
Onde é a área da espira. A área de uma espira quadrada é lado ao quadrado:
Agora, substituímos pela expressão dada T. No instante s, m, então:
Então, o fluxo magnético é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a força eletromotriz induzida ( E = -dPhidt ). Segundo a Lei de Faraday da Indução, a força eletromotriz induzida é igual à taxa de variação do fluxo magnético:
dPhidt = d(B cdot A)dt = A cdot dBdt
Como a velocidade é constante, a variação do fluxo será constante também. Sabemos que o fluxo magnético em dBdt = 0,3 cdot v = 0,3 times 1,4 = 0,42 , T/s s é 0,084 Wb, e a posição y está aumentando linearmente com o tempo. A derivada do fluxo em relação ao tempo é:
E = -A cdot dBdt = -0,04 , m^2 times 0,42 , T/s = -0,0168 , V
Como , e :
Portanto:
O sinal negativo indica a direção da EMF conforme a Lei de Lenz, mas vamos focar no valor absoluto para a força eletromotriz.

Passo 5

Com a força eletromotriz ( I = ER = 0,0168 , V1 , Omega = 0,0168 , A ) encontrada, podemos calcular a corrente induzida ( ) na espira usando a Lei de Ohm:

Passo 6

Agora, vamos determinar a força magnética resultante na espira. Essa força vem de duas partes:
  1. A força devido à corrente induzida na espira interagindo com o campo magnético externo.
  2. A força externa que atua na espira devido ao movimento no campo magnético.
Primeiro, a força magnética sobre um fio em um campo magnético é dada por:
F = I cdot L times B
Onde F = I cdot L cdot B é o vetor comprimento do fio. Como a espira é quadrada e está no plano xy, as forças nas laterais opostas se cancelam, deixando apenas a força total. Além disso, considerando a simetria, a direção da força será na direção oposta ao movimento inicial ou conforme a Lei de Lenz.
Calculando a força total:
F = 0,0168 , A times 0,2 , m times 2,1 , T = 0,007056 , N
Aqui, , , e :
A direção dessa força, conforme a Lei de Lenz, será tal que se opõe à causa que a produziu, ou seja, se a espira está se movendo na direção , a força magnética atuará na direção .

Resposta

Em s, o fluxo magnético na espira é , a força eletromotriz induzida é , e a força magnética resultante na espira tem um valor de direcionada na direção oposta ao movimento da espira.

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