Uma espira quadrada de 20 cm de lado e resistência está contida no plano com os seus lados paralelos aos eixos coordenados. Em , o centro da espira está na origem do sistema de coordenadas, e nesse instante a espira passa a se movimentar com velocidade constante de na direção . O campo magnético na região é dado por . Calcule o fluxo magnético na espira e o valor da força eletromotriz induzida em . Em seguida, determine em a força magnética resultante na espira devido a corrente induzida e ao campo externo e determine a sua direção.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema pede. Temos uma espira quadrada de lado 20 cm (ou 0,2 metros) e resistência de 1 Ω que está no plano xy, com os lados alinhados aos eixos. No instante inicial (t=0), o centro da espira está na origem e começa a se mover na direção y com velocidade constante de 1,4 m/s. O campo magnético na região é dado por T. Precisamos calcular, em s:
O fluxo magnético na espira.
A força eletromotriz induzida.
A força magnética resultante na espira devido à corrente induzida e ao campo externo, além da direção dessa força.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a espira está se movendo e como isso afeta o campo magnético que ela experimenta. A espira está se deslocando na direção y com velocidade constante . Isso significa que, após 5 segundos, a posição y do centro da espira será:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fluxo magnético () através da espira. O fluxo magnético é dado por:
Como a espira está no plano xy e está na direção z, o ângulo entre e é 0 graus (pois também está na direção z para superfícies no plano xy). Portanto:
Onde é a área da espira. A área de uma espira quadrada é lado ao quadrado:
Agora, substituímos pela expressão dada T. No instante s, m, então:
Então, o fluxo magnético é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a força eletromotriz induzida (). Segundo a Lei de Faraday da Indução, a força eletromotriz induzida é igual à taxa de variação do fluxo magnético:
Como a velocidade é constante, a variação do fluxo será constante também. Sabemos que o fluxo magnético em s é 0,084 Wb, e a posição y está aumentando linearmente com o tempo. A derivada do fluxo em relação ao tempo é:
Como , e :
Portanto:
O sinal negativo indica a direção da EMF conforme a Lei de Lenz, mas vamos focar no valor absoluto para a força eletromotriz.
Passo 5
Com a força eletromotriz () encontrada, podemos calcular a corrente induzida () na espira usando a Lei de Ohm:
Passo 6
Agora, vamos determinar a força magnética resultante na espira. Essa força vem de duas partes:
A força devido à corrente induzida na espira interagindo com o campo magnético externo.
A força externa que atua na espira devido ao movimento no campo magnético.
Primeiro, a força magnética sobre um fio em um campo magnético é dada por:
Onde é o vetor comprimento do fio. Como a espira é quadrada e está no plano xy, as forças nas laterais opostas se cancelam, deixando apenas a força total. Além disso, considerando a simetria, a direção da força será na direção oposta ao movimento inicial ou conforme a Lei de Lenz.
Calculando a força total:
Aqui, , , e :
A direção dessa força, conforme a Lei de Lenz, será tal que se opõe à causa que a produziu, ou seja, se a espira está se movendo na direção , a força magnética atuará na direção .
Resposta
Em s, o fluxo magnético na espira é , a força eletromotriz induzida é , e a força magnética resultante na espira tem um valor de direcionada na direção oposta ao movimento da espira.