Uma espira retangular de área A é colocada numa região onde o campo magnético é perpendicular ao plano da espira. Permite-se que a magnitude do campo varie com o tempo de acordo com
, onde
são constantes. O campo tem 0 valor máximo para
. a) Utilize a Lei de Faraday para mostrar que a fem induzida na espira é dada por
. b) Obtenha um valor numérico para
em
quando
e
. c) Para os valores dados, qual é o valor máximo de
? Res b)
e c) 28 mV .
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma espira retangular com área
colocada em uma região onde o campo magnético
é perpendicular ao plano da espira. Esse campo magnético varia com o tempo segundo a fórmula
, onde
e
são constantes. Nosso objetivo é:
a) Usar a Lei de Faraday para encontrar a fem induzida na espira.
b) Calcular numericamente a fem induzida para valores específicos de
,
,
e
.
c) Determinar o valor máximo da fem induzida com os valores dados.
Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e como aplicar derivadas a funções que descrevem campos magnéticos variáveis no tempo.
Passo 2
Parte a) Vamos utilizar a Lei de Faraday, que nos diz que a fem induzida
em uma espira é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético
através dela. Matematicamente, isso é expresso por:
Primeiro, precisamos encontrar o fluxo magnético
. Como o campo magn��tico é perpendicular ao plano da espira, o fluxo é simplesmente:
Substituindo a expressão de
:
Agora, vamos derivar
em relação ao tempo
:
Aplicando a Lei de Faraday:
Então, mostramos que a fem induzida na espira é:
Passo 3
Parte b) Agora, vamos calcular o valor numérico da fem induzida
no instante
segundos, com os valores fornecidos:
Usando a fórmula que encontramos na parte a):
Substituindo os valores:
Calculando
:
Arredondando, temos:
Passo 4
Parte c) Para encontrar o valor máximo da fem induzida
, observamos a expressão:
O fator exponencial
atinge seu máximo quando
, pois
. Portanto, o valor máximo de
é:
Substituindo os valores:
Resposta
a) A fem induzida na espira é dada por
.
b) Para
s,
,
e
, a fem induzida é
.
c) O valor máximo da fem induzida com os valores dados é
.