Uma espira retangular de área A é colocada numa região onde o campo magnético é perpendicular ao plano da espira. Permite-se que a magnitude do campo varie com o tempo de acordo com B=Bmax e^-t / tau, onde Bmax e tau são constantes. O campo tem 0 valor máximo para t<0. a) Utilize a Lei de Faraday para mostrar que a fem induzida na espira é dada por varepsilon=(ABmax / tau) e^-t / tau. b) Obtenha um valor numérico para varepsilon em t=4 s quando A=0,16 m^2, Bmax =0,35 T e tau=2 s. c) Para os valores dados, qual é o valor máximo de varepsilon ? Res b) 3,79 mV e c) 28 mV .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma espira retangular com área colocada em uma região onde o campo magnético é perpendicular ao plano da espira. Esse campo magnético varia com o tempo segundo a fórmula , onde e são constantes. Nosso objetivo é:
a) Usar a Lei de Faraday para encontrar a fem induzida na espira.
b) Calcular numericamente a fem induzida para valores específicos de , , e .
c) Determinar o valor máximo da fem induzida com os valores dados.
Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e como aplicar derivadas a funções que descrevem campos magnéticos variáveis no tempo.

Passo 2

Parte a) Vamos utilizar a Lei de Faraday, que nos diz que a fem induzida varepsilon = -dPhidt em uma espira é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético Phi = B cdot A através dela. Matematicamente, isso é expresso por:
Phi = Bmax e^-t/tau cdot A = A Bmax e^-t/tau
Primeiro, precisamos encontrar o fluxo magnético dPhidt = ddt ( A Bmax e^-t/tau ) = -A Bmaxtau e^-t/tau . Como o campo magn��tico é perpendicular ao plano da espira, o fluxo é simplesmente:
varepsilon = -dPhidt = A Bmaxtau e^-t/tau
Substituindo a expressão de varepsilon = ( A Bmaxtau ) e^-t/tau :
Agora, vamos derivar em relação ao tempo :
Aplicando a Lei de Faraday:
Então, mostramos que a fem induzida na espira é:

Passo 3

Parte b) Agora, vamos calcular o valor numérico da fem induzida A = 0,16 , m^2, Bmax = 0,35 , T, tau = 2 , s no instante varepsilon = ( A Bmaxtau ) e^-t/tau segundos, com os valores fornecidos:
varepsilon = ( 0,16 times 0,352 ) e^-4/2 = ( 0,0562 ) e^-2 = 0,028 times e^-2
Usando a fórmula que encontramos na parte a):
varepsilon = 0,028 times 0,135335 approx 0,003789 , V = 3,789 , mV
Substituindo os valores:
varepsilon approx 3,79 , mV
Calculando :
Arredondando, temos:

Passo 4

Parte c) Para encontrar o valor máximo da fem induzida varepsilon = ( A Bmaxtau ) e^-t/tau , observamos a expressão:
varepsilonmáx = ( A Bmaxtau ) e^0 = A Bmaxtau
O fator exponencial varepsilonmáx = 0,16 times 0,352 = 0,0562 = 0,028 , V = 28 , mV atinge seu máximo quando , pois . Portanto, o valor máximo de é:
á
Substituindo os valores:
á

Resposta

a) A fem induzida na espira é dada por .
b) Para s, , e , a fem induzida é .
c) O valor máximo da fem induzida com os valores dados é .

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