5- Uma mola é esticada até que seu comprimento aumente
. Logo é liberada, podendo oscilar livremente, de maneira que ela realiza 30 oscilações a cada 5 segundos.
Determinar:
a) a equação do movimento;
b) a posição após 10 segundos de iniciado o movimento e
c) o tempo que demora para atingir a posição de equilíbrio desde seu ponto de máximo afastamento.
Determinar:
a) a equação do movimento;
b) a posição após 10 segundos de iniciado o movimento e
c) o tempo que demora para atingir a posição de equilíbrio desde seu ponto de máximo afastamento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre o movimento de uma mola esticada. O assunto aqui é movimento harmônico simples. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como amplitude, frequência, período e a equação do movimento. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resumir o que foi dado:
- A mola é esticada até aumentar seu comprimento em 5 cm. Isso significa que a amplitude
do movimento é 5 cm. - A mola realiza 30 oscilações em 5 segundos. Isso nos dá a frequência
.
Vamos calcular a frequência.
Passo 3
A frequência
é o número de oscilações por segundo. Como temos 30 oscilações em 5 segundos, calculamos:
Então, a frequência é 6 Hz.
Passo 4
O período
é o tempo que a mola leva para completar uma oscilação. Ele é o inverso da frequência:
Então, o período é aproximadamente 0,1667 segundos.
Passo 5
Agora, vamos para a parte a) do exercício: Determinar a equação do movimento.
A equação do movimento harmônico simples é dada por:
Onde:
-
é a amplitude, -
é a frequência, -
é a fase inicial.
Como a mola é liberada do ponto de máxima extensão, a fase inicial
.
Passo 6
Substituindo os valores que temos na equação:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos para a parte b): Determinar a posição após 10 segundos.
Usamos a equação do movimento que encontramos:
Substituindo
segundos:
Passo 8
Sabemos que o cosseno de múltiplos inteiros de
alterna entre 1 e -1. Como
é um múltiplo inteiro de
:
Portanto:
Passo 9
Finalmente, a parte c): Determinar o tempo para atingir a posição de equilíbrio desde o máximo afastamento.
A posição de equilíbrio ocorre quando
. Vamos resolver:
Dividindo ambos os lados por 5:
Passo 10
O cosseno é zero quando seu argumento é
, onde
é um inteiro. Então:
Dividindo ambos os lados por
:
O menor tempo positivo ocorre quando
:
Resposta
a) Equação do movimento:
cm
b) Posição após 10 segundos: cm
c) Tempo para atingir a posição de equilíbrio: 0,0417 segundos
b) Posição após 10 segundos:
c) Tempo para atingir a posição de equilíbrio: 0,0417 segundos