5- Uma mola é esticada até que seu comprimento aumente 5 cm. Logo é liberada, podendo oscilar livremente, de maneira que ela realiza 30 oscilações a cada 5 segundos.
Determinar:
a) a equação do movimento;
b) a posição após 10 segundos de iniciado o movimento e
c) o tempo que demora para atingir a posição de equilíbrio desde seu ponto de máximo afastamento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre o movimento de uma mola esticada. O assunto aqui é movimento harmônico simples. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como amplitude, frequência, período e a equação do movimento. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resumir o que foi dado:
  • A mola é esticada até aumentar seu comprimento em 5 cm. Isso significa que a amplitude do movimento é 5 cm.
  • A mola realiza 30 oscilações em 5 segundos. Isso nos dá a frequência .
Vamos calcular a frequência.

Passo 3

A frequência f = 30 oscilações5 segundos = 6 Hz é o número de oscilações por segundo. Como temos 30 oscilações em 5 segundos, calculamos:
çõ
Então, a frequência é 6 Hz.

Passo 4

O período T = 1f = 16 s approx 0,1667 s é o tempo que a mola leva para completar uma oscilação. Ele é o inverso da frequência:
Então, o período é aproximadamente 0,1667 segundos.

Passo 5

Agora, vamos para a parte a) do exercício: Determinar a equação do movimento.
A equação do movimento harmônico simples é dada por:
x(t) = A cos(2pi f t + phi)
Onde:
  • é a amplitude,
  • é a frequência,
  • é a fase inicial.
Como a mola é liberada do ponto de máxima extensão, a fase inicial .

Passo 6

Substituindo os valores que temos na equação:
x(t) = 5 cos(2pi times 6 times t) cm
Simplificando:
x(t) = 5 cos(12pi t) cm

Passo 7

Agora, vamos para a parte b): Determinar a posição após 10 segundos.
Usamos a equação do movimento que encontramos:
x(t) = 5 cos(12pi t)
Substituindo x(10) = 5 cos(12pi times 10) = 5 cos(120pi) segundos:

Passo 8

Sabemos que o cosseno de múltiplos inteiros de cos(120pi) = 1 alterna entre 1 e -1. Como x(10) = 5 times 1 = 5 cm é um múltiplo inteiro de :
Portanto:

Passo 9

Finalmente, a parte c): Determinar o tempo para atingir a posição de equilíbrio desde o máximo afastamento.
A posição de equilíbrio ocorre quando 5 cos(12pi t) = 0 . Vamos resolver:
cos(12pi t) = 0
Dividindo ambos os lados por 5:

Passo 10

O cosseno é zero quando seu argumento é 12pi t = pi2 + kpi , onde t = 124 + k12 é um inteiro. Então:
t = 124 segundos approx 0,0417 s
Dividindo ambos os lados por :
O menor tempo positivo ocorre quando :

Resposta

a) Equação do movimento: cm
b) Posição após 10 segundos: cm
c) Tempo para atingir a posição de equilíbrio: 0,0417 segundos

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