Uma espira retangular de lados a e b afasta-se com velocidade v=v0 x de um fio retilíneo muito longo, que transporta corrente contínua de intensidade I. A espira tem resistência R e autoindutância desprezível. No instante considerado, sua distância ao outro fio é x. (a) calcule o fluxo magnético através da espira neste instante; (b) calcule a magnitude i e o sentido de percurso da corrente induzida na espira neste instante.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma espira retangular com lados e que está se afastando de um fio retilíneo que transporta uma corrente . A espira tem resistência e a sua autoindutância pode ser desprezada. No instante considerado, a distância entre a espira e o fio é . Precisamos calcular:
a) O fluxo magnético através da espira.
b) A magnitude e o sentido da corrente induzida na espira.
Para resolver, vamos precisar dos conceitos de fluxo magnético, da lei de Biot-Savart para o campo magnético gerado por um fio longo, e da lei de Faraday para a indução de corrente elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o fluxo magnético através da espira. O fluxo magnético Phi = integral B cdot dA é dado pela integral do campo magnético B(r) = mu0 I2pi r sobre a área da espira:
Como o fio é retilíneo e muito longo, o campo magnético ao redor dele é uniforme e perpendicular à área da espira. O campo magnético gerado por um fio longo com corrente a uma distância é dado pela Lei de Biot-Savart:
onde é a permeabilidade do vácuo.

Passo 3

Para encontrar o fluxo magnético através da espira, precisamos integrar o campo magnético ao longo da área da espira. Vamos considerar que a espira está posicionada no plano xy, com o lado Phi = integralx^x+a mu0 I2pi r b , dr perpendicular ao fio e o lado paralelo ao fio. A distância do fio varia de a , mas no instante considerado, a distância é .
Então, a expressão do fluxo fica:
Aqui, é a largura da espira e permanece constante durante a integração.

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Phi = mu0 I b2pi integralx^x+a 1r , dr = mu0 I b2pi ln(x+ax)
Portanto, o fluxo magnético através da espira no instante considerado é:
Phi = mu0 I b2pi ln(x+ax)

Passo 5

Agora, vamos calcular a corrente induzida na espira. Segundo a Lei de Faraday, a força eletromotriz induzida E = -dPhidt é dada por:
i = ER
A corrente induzida está relacionada à força eletromotriz pela resistência :

Passo 6

Vamos derivar o fluxo magnético em relação ao tempo. Sabemos que dPhidt = mu0 I b2pi ddt ln(x+ax) = mu0 I b2pi (v0x(x+a)) e E = -mu0 I b v02pi x(x+a) são constantes, e a distância está aumentando com a velocidade , ou seja, . Portanto, a derivada do fluxo é:
Substituindo na expressão da força eletromotriz:

Passo 7

Finalmente, a corrente induzida é:
i = ER = -mu0 I b v02pi R x(x+a)
O sinal negativo indica que a corrente induzida tem um sentido que se opõe à variação do fluxo magnético, de acordo com a Lei de Lenz.

Resposta

(a) O fluxo magnético através da espira é .
(b) A magnitude da corrente induzida na espira é e o sentido de percurso da corrente é tal que cria um campo magnético que se opõe ao aumento do fluxo, conforme a Lei de Lenz.

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