Uma linha contínua de carga encontra-se ao longo do eixo , estendendo-se de até o infinito positivo. A linha é carregada com densidade
linear uniforme . Quais são a magnitude, direção e sentido do campo elétrico na origem?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! A gente tem uma linha de carga que vai do ponto até o infinito no eixo . Essa linha tem uma densidade de carga linear uniforme, que é . Nosso objetivo é encontrar a magnitude, direção e sentido do campo elétrico na origem (ponto no eixo ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico devido a distribuições contínuas de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico ( ) criado por uma distribuição contínua de carga pode ser calculado integrando as contribuições de pequenos pedaços de carga ao longo da linha. A fórmula geral para o campo elétrico devido a uma linha de carga é:
Onde:
  • é a densidade linear de carga.
  • é um pequeno elemento de comprimento da linha de carga.
  • é a distância do elemento de carga até o ponto onde estamos calculando o campo (neste caso, a origem).
  • é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

No nosso caso, a linha de carga está ao longo do eixo , começando em e indo até o infinito. Queremos calcular o campo na origem, então a distância de um ponto na linha de carga até a origem é simplesmente . A direção do campo elétrico será ao longo do eixo .
Então, a expressão para o campo elétrico na origem fica:
Aqui, é o vetor unitário na direção positiva do eixo .

Passo 4

Vamos resolver a integral:
A integral de em relação a é . Avaliando de até o infinito:

Passo 5

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão para , temos:

Resposta

A magnitude do campo elétrico na origem é , a direção é ao longo do eixo e o sentido é para a direita, na direção positiva do eixo .

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