Uma linha contínua de carga encontra-se ao longo do eixo
, estendendo-se de
até o infinito positivo. A linha é carregada com densidade
linear uniforme
. Quais são a magnitude, direção e sentido do campo elétrico na origem?
linear uniforme
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! A gente tem uma linha de carga que vai do ponto
até o infinito no eixo
. Essa linha tem uma densidade de carga linear uniforme, que é
. Nosso objetivo é encontrar a magnitude, direção e sentido do campo elétrico na origem (ponto
no eixo
). Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico devido a distribuições contínuas de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico (
) criado por uma distribuição contínua de carga pode ser calculado integrando as contribuições de pequenos pedaços de carga ao longo da linha. A fórmula geral para o campo elétrico devido a uma linha de carga é:
Onde:
-
é a densidade linear de carga. -
é um pequeno elemento de comprimento da linha de carga. -
é a distância do elemento de carga até o ponto onde estamos calculando o campo (neste caso, a origem). -
é o vetor unitário na direção de .
Passo 3
No nosso caso, a linha de carga está ao longo do eixo
, começando em
e indo até o infinito. Queremos calcular o campo na origem, então a distância
de um ponto na linha de carga até a origem é simplesmente
. A direção do campo elétrico será ao longo do eixo
.
Então, a expressão para o campo elétrico na origem fica:
Aqui,
é o vetor unitário na direção positiva do eixo
.
Passo 4
Vamos resolver a integral:
A integral de
em relação a
é
. Avaliando de
até o infinito:
Passo 5
Substituindo o resultado da integral de volta na expressão para
, temos:
Resposta
A magnitude do campo elétrico na origem é
, a direção é ao longo do eixo
e o sentido é para a direita, na direção positiva do eixo
.