Uma linha contínua de carga encontra-se ao longo do eixo x, estendendo-se de x=x0>0 até o infinito positivo. A linha é carregada com densidade
linear uniforme lambda0. Quais são a magnitude, direção e sentido do campo elétrico na origem?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! A gente tem uma linha de carga que vai do ponto x = x0 até o infinito no eixo x. Essa linha tem uma densidade de carga linear uniforme, que é lambda0. Nosso objetivo é encontrar a magnitude, direção e sentido do campo elétrico na origem (ponto 0 no eixo x). Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico devido a distribuições contínuas de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico ( E) criado por uma distribuição contínua de carga pode ser calculado integrando as contribuições de pequenos pedaços de carga ao longo da linha. A fórmula geral para o campo elétrico devido a uma linha de carga é:
E = 14pivarepsilon0 integral lambda , dxr^2 r
Onde:
  • lambda é a densidade linear de carga.
  • dx é um pequeno elemento de comprimento da linha de carga.
  • r é a distância do elemento de carga até o ponto onde estamos calculando o campo (neste caso, a origem).
  • r é o vetor unitário na direção de r.

Passo 3

No nosso caso, a linha de carga está ao longo do eixo x, começando em x0 e indo até o infinito. Queremos calcular o campo na origem, então a distância r de um ponto na linha de carga até a origem é simplesmente x. A direção do campo elétrico será ao longo do eixo x.
Então, a expressão para o campo elétrico na origem fica:
E = 14pivarepsilon0 integralx0^infty lambda0 , dxx^2 i
Aqui, i é o vetor unitário na direção positiva do eixo x.

Passo 4

Vamos resolver a integral:
E = lambda04pivarepsilon0 integralx0^infty dxx^2
A integral de 1x^2 em relação a x é -1x. Avaliando de x0 até o infinito:
integralx0^infty dxx^2 = [ -1x ]x0^infty = 0 - ( -1x0 ) = 1x0

Passo 5

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão para E, temos:
E = lambda04pivarepsilon0 cdot 1x0 = lambda04pivarepsilon0 x0

Resposta

A magnitude do campo elétrico na origem é E = lambda04pivarepsilon0 x0, a direção é ao longo do eixo x e o sentido é para a direita, na direção positiva do eixo x.

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