Uma espira retangular de lados 2 a e 2 b é percorrida por uma corrente i. Calcule o campo magnético criado pela espira em seu centro geométrico.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física sobre magnetismo. O problema nos apresenta uma espira retangular com lados de comprimento e , por onde circula uma corrente elétrica . Nosso objetivo é calcular o campo magnético que essa espira cria em seu centro geométrico. Para resolver isso, vamos utilizar a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a determinar o campo magnético gerado por correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a forma da espira e a localização onde queremos calcular o campo magnético. A espira é retangular, com lados de e , e o centro geométrico é o ponto onde as diagonais da espira se cruzam.

Passo 3

A Lei de Biot-Savart nos diz que o campo magnético dB = mu04pi I dl times r|r|^3 devido a um elemento de corrente é dado por:
onde é a permeabilidade do vácuo, é a corrente, é um elemento de comprimento da espira, e é o vetor posição do elemento em relação ao ponto onde estamos calculando o campo.

Passo 4

Para simplificar, devido à simetria da espira retangular, podemos calcular o campo magnético no centro devido a cada lado da espira e depois somar todos os campos vetoriais resultantes. Vamos analisar um lado da espira com comprimento .

Passo 5

Considerando um lado de comprimento Ba = mu0 I4pi cdot 2a(a^2 + b^2)^3/2 , a distância do centro geométrico até esse lado é . O campo magnético devido a este lado no centro pode ser calculado usando a fórmula para o campo no centro de um segmento reto de corrente:
Aqui, usamos a projeção do campo devido ao lado na direção perpendicular ao plano da espira.

Passo 6

Da mesma forma, para o lado de comprimento Bb = mu0 I4pi cdot 2b(a^2 + b^2)^3/2 , a distância ao centro é . O campo magnético devido a este lado no centro é:

Passo 7

Como existem dois lados de comprimento Btotal = 2Ba + 2Bb e dois lados de comprimento na espira retangular, o campo magnético total no centro será a soma dos campos de todos os quatro lados. Portanto:

Passo 8

Substituindo Btotal = 2 ( mu0 I4pi cdot 2a(a^2 + b^2)^3/2 ) + 2 ( mu0 I4pi cdot 2b(a^2 + b^2)^3/2 ) e na expressão acima:

Passo 9

Simplificando a expressão:
Btotal = mu0 I4pi cdot 4(a + b)(a^2 + b^2)^3/2

Resposta

O campo magnético no centro geométrico da espira é:
B = mu0 I (a + b)pi (a^2 + b^2)^3/2

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