O esquema abaixo representa um homem de frente para um espelho plano S, vertical, e de costas para uma árvore P, de altura igual a 4,0 m. Qual deverá ser o comprimento mínimo do espelho para que o homem possa ver nele a imagem completa da árvore?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um homem de frente para um espelho plano vertical e, atrás dele, tem uma árvore de 4,0 metros de altura. A pergunta é: qual é o comprimento mínimo que esse espelho precisa ter para que o homem consiga ver a imagem completa da árvore nele.
Vamos usar conceitos de ótica, especificamente sobre espelhos planos e formação de imagens. Para resolver isso, precisamos entender como a imagem da árvore se forma no espelho e qual tamanho o espelho precisa ter para capturar toda essa imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. O homem está de frente para o espelho, e a árvore está atrás dele. Para que ele veja a árvore inteira no espelho, a luz refletida das partes mais altas e mais baixas da árvore precisa chegar aos seus olhos.
Sabemos que, em espelhos planos, a imagem formada é do mesmo tamanho da objeto e está à mesma distância atrás do espelho. Ou seja, a imagem da árvore terá também 4,0 metros de altura.
Passo 3
Agora, vamos pensar na posição dos olhos do homem. Vamos supor que a altura dos olhos dele seja $ h $. Para que ele veja a imagem completa da árvore, os raios de luz que vão do topo e da base da árvore até o espelho precisam refletir e alcançar seus olhos.
Como o espelho está vertical, a distância do homem ao espelho e da árvore ao espelho não afeta o tamanho mínimo do espelho necessário para ver a imagem completa.
Passo 4
A chave aqui é perceber que, para ver a imagem inteira da árvore, o espelho precisa refletir os raios de luz do topo e da base da árvore para os olhos do homem. O comprimento mínimo do espelho será metade da altura da árvore.
Matematicamente, isso fica assim:
Passo 5
Vamos calcular o comprimento mínimo do espelho usando a fórmula acima. Sabemos que a altura da árvore é 4,0 metros:
Resposta
O comprimento mínimo do espelho deve ser 2,0 metros para que o homem possa ver a imagem completa da árvore.