Estabeleça as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a derivada da função trigonométrica hiperbólica cotangente, ou seja, calcular . Isso está relacionado ao estudo das funções hiperbólicas e suas derivadas. Para resolver, vamos precisar conhecer a definição da função cotangente hiperbólica e as regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função cotangente hiperbólica é definida como:
onde é o cosseno hiperbólico e é o seno hiperbólico.

Passo 3

Para derivar , vamos usar a regra do quociente, que é aplicada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções. A regra do quociente diz que:

Passo 4

Aplicando a regra do quociente à nossa função , temos:

Passo 5

Agora, precisamos lembrar como são as derivadas de e . Sabemos que:

Passo 6

Substituindo essas derivadas na expressão anterior, temos:

Passo 7

Simplificando o numerador:
Isso porque sabemos da identidade hiperbólica , então .

Passo 8

Portanto, a derivada fica:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Calcular las siguientes integrales indefinidas:
Evalúe la integral definida:
En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio: