En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de
no intervalo de
a
e depois encontrar um número
nesse intervalo que satisfaça o Teorema do Valor Médio para integrais. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e entendimento do teorema que garante a existência de tal
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral
. Para isso, precisamos integrar a função
.
Sabemos que
é o mesmo que
. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração. Mas como estamos fazendo uma integral definida de
a
, não precisamos nos preocupar com
.
Agora, multiplicando pela constante
:
Vamos avaliar nos limites:
Para
:
Para
:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o número
no intervalo
que satisfaz o Teorema do Valor Médio para integrais. Esse teorema diz que existe pelo menos um ponto
no intervalo tal que:
Nesse caso,
e
. Já calculamos a integral como
, então:
Agora, substituímos
:
Simplificando:
Agora, isolamos
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Resposta
O número
está no intervalo
e satisfaz o Teorema do Valor Médio para a integral dada.
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