En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio: integral-1^8 3 cdot raizx+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de no intervalo de a e depois encontrar um número nesse intervalo que satisfaça o Teorema do Valor Médio para integrais. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e entendimento do teorema que garante a existência de tal .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral integral (x+1)^1/2 , dx = 23 (x+1)^3/2 + C . Para isso, precisamos integrar a função integral-1^8 3 cdot raizx+1 , dx = 3 cdot [ 23 (x+1)^3/2 ]-1^8 = 2 cdot [ (x+1)^3/2 ]-1^8 .
Sabemos que (8+1)^3/2 = 9^3/2 = raiz9^3 = raiz729 = 27 é o mesmo que (-1+1)^3/2 = 0^3/2 = 0 . A integral de 2 cdot (27 - 0) = 54 em relação a é:
Onde é a constante de integração. Mas como estamos fazendo uma integral definida de a , não precisamos nos preocupar com .
Agora, multiplicando pela constante :
Vamos avaliar nos limites:
Para :
Para :
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o número integrala^b f(x) , dx = f(c) cdot (b - a) no intervalo 54 = f(c) cdot (8 - (-1)) implies 54 = f(c) cdot 9 que satisfaz o Teorema do Valor Médio para integrais. Esse teorema diz que existe pelo menos um ponto 54 = 3 cdot raizc+1 cdot 9 no intervalo tal que:
54 = 27 cdot raizc+1
Nesse caso, raizc+1 = 5427 = 2 e c + 1 = 4 implies c = 3 . Já calculamos a integral como , então:
Agora, substituímos :
Simplificando:
Agora, isolamos :
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Resposta

O número está no intervalo e satisfaz o Teorema do Valor Médio para a integral dada.

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