En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de no intervalo de a e depois encontrar um número nesse intervalo que satisfaça o Teorema do Valor Médio para integrais. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral e entendimento do teorema que garante a existência de tal .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral . Para isso, precisamos integrar a função .
Sabemos que é o mesmo que . A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração. Mas como estamos fazendo uma integral definida de a , não precisamos nos preocupar com .
Agora, multiplicando pela constante :
Vamos avaliar nos limites:
Para :
Para :
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o número no intervalo que satisfaz o Teorema do Valor Médio para integrais. Esse teorema diz que existe pelo menos um ponto no intervalo tal que:
Nesse caso, e . Já calculamos a integral como , então:
Agora, substituímos :
Simplificando:
Agora, isolamos :
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Resposta

O número está no intervalo e satisfaz o Teorema do Valor Médio para a integral dada.

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