Estabeleça as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas:

Passo 1

Vamos resumir o exercício: precisamos encontrar a derivada da função trigonométrica hiperbólica . Para isso, vamos utilizar o conhecimento de funções hiperbólicas e as regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da função hiperbólica seno, que é dada por:
Aqui, representa a função exponencial, e é a variável.

Passo 3

Para encontrar a derivada de , precisamos derivar a expressão acima em relação a . Vamos aplicar a regra da derivada para funções exponenciais.

Passo 4

Derivando cada termo separadamente:
e

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na expressão original:
Simplificando:

Passo 6

Observamos que a expressão resultante é exatamente a definição da função hiperbólica cosseno:

Resposta

A derivada de é .

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