Estabeleça as derivadas das funções trigonométricas hiperbólicas:
Passo 1
Vamos resumir o exercício: precisamos encontrar a derivada da função trigonométrica hiperbólica
. Para isso, vamos utilizar o conhecimento de funções hiperbólicas e as regras básicas de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da função hiperbólica seno, que é dada por:
Aqui,
representa a função exponencial, e
é a variável.
Passo 3
Para encontrar a derivada de
, precisamos derivar a expressão acima em relação a
. Vamos aplicar a regra da derivada para funções exponenciais.
Passo 4
Derivando cada termo separadamente:
e
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na expressão original:
Simplificando:
Passo 6
Observamos que a expressão resultante é exatamente a definição da função hiperbólica cosseno:
Resposta
A derivada de
é
.
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