Calcular las siguientes integrales indefinidas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Essa questão envolve integração de funções polinomiais e exponenciais. Para resolver, vamos precisar expandir o quadrado da expressão dentro da integral e depois integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado . Lembrando que , temos:
Simplificando cada termo:

Passo 3

Agora, a integral fica dividida em três partes:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Primeira integral:
A integral de é uma das mais diretas:

Passo 5

Terceira integral:
Essa é uma integral polinomial. Lembrando que , temos:

Passo 6

Segunda integral:
Essa integral é um pouco mais complicada e vamos resolver usando o método de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
  • (simplifica ao derivar)
Então, calculamos:
Para encontrar , fazemos a integral de :
Agora, aplicando a fórmula:

Passo 7

Agora, juntando todas as integrais que resolvemos:
Onde é a constante de integração que engloba todas as constantes , e .

Resposta

A integral indefinida é:
Onde é a constante de integração.

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