Calcular las siguientes integrales indefinidas: integral(e^x2+2 x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral(e^x2+2 x)^2 d x. Essa questão envolve integração de funções polinomiais e exponenciais. Para resolver, vamos precisar expandir o quadrado da expressão dentro da integral e depois integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado (e^x2 + 2x)^2. Lembrando que (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, temos:
(e^x2 + 2x)^2 = (e^x2)^2 + 2 cdot e^x2 cdot 2x + (2x)^2
Simplificando cada termo:
= e^x + 4x e^x2 + 4x^2

Passo 3

Agora, a integral fica dividida em três partes:
integral (e^x + 4x e^x2 + 4x^2) dx = integral e^x dx + integral 4x e^x2 dx + integral 4x^2 dx
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Primeira integral: integral e^x dx
A integral de e^x é uma das mais diretas:
integral e^x dx = e^x + C1

Passo 5

Terceira integral: integral 4x^2 dx
Essa é uma integral polinomial. Lembrando que integral x^n dx = x^n+1n+1 + C, temos:
integral 4x^2 dx = 4 cdot x^33 + C2 = 43x^3 + C2

Passo 6

Segunda integral: integral 4x e^x2 dx
Essa integral é um pouco mais complicada e vamos resolver usando o método de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = 4x (simplifica ao derivar)
  • dv = e^x2 dx
Então, calculamos:
  • du = 4 dx
  • v = integral e^x2 dx
Para encontrar v, fazemos a integral de e^x2:
v = 2 e^x2 + C
Agora, aplicando a fórmula:
integral 4x e^x2 dx = 4x cdot 2 e^x2 - integral 2 e^x2 cdot 4 dx
= 8x e^x2 - 8 integral e^x2 dx
= 8x e^x2 - 16 e^x2 + C3

Passo 7

Agora, juntando todas as integrais que resolvemos:
e^x + 43x^3 + 8x e^x2 -16 e^x2 + C
Onde C é a constante de integração que engloba todas as constantes C1, C2 e C3.

Resposta

A integral indefinida é:
integral(e^x2+2 x)^2 d x = e^x + 43x^3 + 8x e^x2 -16 e^x2 + C
Onde C é a constante de integração.

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