Estabeleça o domínio de casa uma das funções abaixo e explique, usando propriedades de funções contínuas, por que cada função é contínua em todo seu domínio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função
e explicar por que ela é contínua em todo o seu domínio usando propriedades de funções contínuas. Para isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e o que significa uma função ser contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
que a função pode aceitar sem causar problemas, como divisão por zero ou tirar a raiz de um número negativo. No caso da nossa função
, precisamos garantir que o denominador
nunca seja zero, porque divisão por zero não é permitida.
Passo 3
Então, vamos encontrar os valores de
que fazem o denominador ser zero:
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Passo 4
Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo (
), não há raízes reais para essa equação. Isso significa que o denominador
nunca será zero para nenhum valor real de
.
Passo 5
Já que o denominador nunca é zero, não há restrições para o domínio da função. Portanto, o domínio de
é todos os números reais.
Passo 6
Agora, vamos falar sobre a continuidade da função. Uma função é contínua em seu domínio se não tiver “quebras”, “saltos” ou “buracos”. No nosso caso,
é uma função racional, que é contínua onde quer que o denominador não seja zero. Já vimos que o denominador nunca é zero, então a função é contínua em todo o seu domínio.
Resposta
O domínio da função
é todo número real. Além disso, a função é contínua em todo o seu domínio porque o denominador nunca é zero e funções racionais são contínuas onde estão definidas.
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