Estabeleça o domínio de casa uma das funções abaixo e explique, usando propriedades de funções contínuas, por que cada função é contínua em todo seu domínio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função e explicar por que ela é contínua em todo o seu domínio usando propriedades de funções contínuas. Para isso, vamos precisar entender o que é domínio de uma função e o que significa uma função ser contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de que a função pode aceitar sem causar problemas, como divisão por zero ou tirar a raiz de um número negativo. No caso da nossa função , precisamos garantir que o denominador nunca seja zero, porque divisão por zero não é permitida.

Passo 3

Então, vamos encontrar os valores de que fazem o denominador ser zero:
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .

Passo 4

Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo ( ), não há raízes reais para essa equação. Isso significa que o denominador nunca será zero para nenhum valor real de .

Passo 5

Já que o denominador nunca é zero, não há restrições para o domínio da função. Portanto, o domínio de é todos os números reais.

Passo 6

Agora, vamos falar sobre a continuidade da função. Uma função é contínua em seu domínio se não tiver “quebras”, “saltos” ou “buracos”. No nosso caso, é uma função racional, que é contínua onde quer que o denominador não seja zero. Já vimos que o denominador nunca é zero, então a função é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

O domínio da função é todo número real. Além disso, a função é contínua em todo o seu domínio porque o denominador nunca é zero e funções racionais são contínuas onde estão definidas.

Exercícios relacionados

Escreva um trabalho sobre as origens históricas dos Teoremas de Green e de Stokes. Explique as semelhanças e as relações entre os teoremas. Discuta o papel que Green, Thomson e Stokes tiveram na descoberta desses teoremas e em torná-los conhecidos. Mostre como esses teoremas apareceram em pesquisas em eletricidade e magnetismo e foram depois usados no estudo de diversos outros problemas físicos.
Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais;
Estabeleça o domínio de casa uma das funções abaixo e explique, usando propriedades de funções contínuas, por que cada função é contínua em todo seu domínio.
Usando o método de substituição trigonométrica calcule as seguintes integrais;