Estabeleça o domínio de casa uma das funções abaixo e explique, usando propriedades de funções contínuas, por que cada função é contínua em todo seu domínio.
f(x) = e^x sen(5 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função e explicar por que essa função é contínua em todo o seu domínio. Vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e as propriedades de funções contínuas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.

Passo 3

Vamos analisar os componentes da função:
  • é a função exponencial. A função exponencial está definida para todo número real . Não tem restrições.
  • é a função seno, que também está definida para todo número real . Não tem restrições.

Passo 4

Como ambas as funções e estão definidas para qualquer valor real de , o produto delas, que é , também estará definido para todo número real .

Passo 5

Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tiver “quebras”, “saltos” ou “buracos” nesse ponto. As funções e são ambas funções contínuas em todo o seu domínio, que no nosso caso é todo o conjunto dos números reais.

Passo 6

Uma propriedade importante das funções contínuas é que o produto de duas funções contínuas também é contínuo. Já que e são contínuas em todo , o produto delas, , também será contínuo em todo .

Resposta

O domínio da função é todo o conjunto dos números reais . Além disso, ela é contínua em todo o seu domínio porque é o produto de duas funções contínuas em .

Exercícios relacionados