Estabeleça o domínio de casa uma das funções abaixo e explique, usando propriedades de funções contínuas, por que cada função é contínua em todo seu domínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o domínio da função e explicar por que essa função é contínua em todo o seu domínio. Vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e as propriedades de funções contínuas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Passo 3
Vamos analisar os componentes da função:
-
é a função exponencial. A função exponencial está definida para todo número real . Não tem restrições. - é a função seno, que também está definida para todo número real
. Não tem restrições.
Passo 4
Como ambas as funções
e estão definidas para qualquer valor real de
, o produto delas, que é , também estará definido para todo número real
.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não tiver “quebras”, “saltos” ou “buracos” nesse ponto. As funções
e são ambas funções contínuas em todo o seu domínio, que no nosso caso é todo o conjunto dos números reais.
Passo 6
Uma propriedade importante das funções contínuas é que o produto de duas funções contínuas também é contínuo. Já que
e são contínuas em todo
, o produto delas,
, também será contínuo em todo
.
Resposta
O domínio da função é todo o conjunto dos números reais
. Além disso, ela é contínua em todo o seu domínio porque é o produto de duas funções contínuas em
.